第二章23数学归纳法

第二章2.3理解教材新知突破常考题型跨越高分障碍应用落实体验课时达标检测2.3数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下．问题1：试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？[提出问题]数学归纳法提示：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．问题2：利用这种思想方法能解决哪类数学问题？提示：一些与正整数n有关的问题．[导入新知]1．数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取时命题成立；(2)(归纳递推)假设时命题成立，证明当时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对的所有正整数n都成立．上述证明方法叫作数学归纳法．n＝k＋1从n0开始第一个值n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)2．数学归纳法的框图表示[化解疑难]数学归纳法中两个步骤的作用及关系步骤(1)是命题论证的基础，步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证．这两个步骤缺一不可，如果只有步骤(1)缺少步骤(2)，则无法判断n＝k(k＞n0)时命题是否成立；如果只有步骤(2)缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)就没有意义了．需要注意：步骤(2)是数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出当n＝k＋1时命题也成立，而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证．用数学归纳法证明等式[例1]用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)．[证明](1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2.那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．[类题通法]用数学归纳法证明等式的方法用数学归纳法证明与正整数有关的命题时，关键在于先“看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项；再“两凑”，将n＝k＋1时的式子转化成与归纳假设的结构相同的形式——凑假设；然后利用归纳假设，经过恒等变形，得到结论所需的形式——凑结论．[活学活用]用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n22n－12n＋1＝nn＋122n＋1.证明：(1)当n＝1时，121×3＝1×22×3成立．(2)假设当n＝k时等式成立，即有121×3＋223×5＋…＋k22k－12k＋1＝kk＋122k＋1，则121×3＋223×5＋…＋k22k－12k＋1＋k＋122k＋12k＋3＝kk＋122k＋1＋k＋122k＋12k＋3＝k＋1k＋222k＋3，即当n＝k＋1时等式也成立．由(1)(2)可得对于任意的n∈N*等式都成立.用数学归纳法证明不等式[例2]已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n，当n＞1，n∈N*时，求证：f(2n)＞n＋22.[证明](1)当n＝2时，f(22)＝1＋12＋13＋14＝2512＞2＋22，原不等式成立；(2)假设当n＝k(k∈N*且k＞1)时不等式成立，即f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k＞k＋22，那么当n＝k＋1时，有f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k＋1＝f(2k)＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＞k＋22＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k＞k＋22＋12k＋2k＋…＋12k＋2k＝k＋22＋2k2k＋2k＝k＋22＋12＝k＋1＋22.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)知，对任何n＞1，n∈N*不等式都成立．[类题通法]用数学归纳法证明不等式应注意两点(1)证明不等式的第二步即从n＝k到n＝k＋1的推导过程中要应用归纳假设，有时需要对目标式进行适当的放缩来实现；(2)用数学归纳法证明不等式时，推论过程中有时要用到比较法、分析法和配凑法等．[活学活用]证明不等式1＋12＋13＋…＋1n＜2n(n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21＝2.显然命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋12＋13＋…＋1k＜2k.则当n＝k＋1时，1＋12＋13＋…＋1k＋1k＋1＜2k＋1k＋1＝2k·k＋1＋1k＋1＜k＋k＋1＋1k＋1＝2k＋1k＋1＝2k＋1，这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)(2)，可知不等式对任意正整数n都成立.用数学归纳法证明整除问题[例3]用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．[证明](1)n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×31＋9＝36，能被36整除．(2)假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除．当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)＝3f(k)＋18(3k－1－1)，∵3k－1－1是偶数．∴18(3k－1－1)能被36整除．又f(k)能被36整除，∴f(k＋1)能被36整除．由(1)(2)知对n∈N*，f(n)能被36整除．[类题通法]用数学归纳法证明整除问题的方法技巧用数学归纳法证明整除问题时，首先要从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是用数学归纳法证明整除问题的一大技巧．[活学活用]利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．证明：(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时命题成立，即x2k－y2k能被x＋y整除．那么，当n＝k＋1时，x2(k＋1)－y2(k＋1)＝x2·x2k－y2·y2k－x2·y2k＋x2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)．因为x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，所以x2(k＋1)－y2(k＋1)能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任何n∈N*都成立．[典例](12分)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈N*)，其中λ0.(1)求a2，a3，a4；(2)猜想{an}的通项公式并加以证明．6.归纳——猜想——证明[解题流程][活学活用]将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明．S1＝1，S2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，……解：由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4.那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任何n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．[随堂即时演练]1．用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为()A．1B．2C．3D．4解析：边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3.答案：C2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1成立时，左边所得的项为()A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3解析：当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.答案：B3．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，表达式为____________________．解析：当n＝k＋1时，应将表达式1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2中的k更换为k＋1.答案：1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)24．以下是用数学归纳法证明“n∈N*时，2n＞n2”的过程．证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即2k＞k2.那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2，即当n＝k＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任何n∈N*不等式都成立．其中错误的步骤为________(填序号)．解析：在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论．如k＝2时，k2＜2k＋1.答案：(2)5．求证：12＋14＋…＋12n＝1－12n(其中n∈N*)．证明：(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即12＋14＋…＋12k＝1－12k.那么，当n＝k＋1时，12＋14＋…＋12k＋12k＋1＝1－12k＋12k＋1＝1－12k＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．课时达标检测见课时跟踪检测(十七)