第二章_矩阵代数_S2矩阵的代数_

第二章矩阵代数第二节矩阵的代数运算目的：掌握矩阵代数运算的定义、条件及运算性质.１、定义mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111§2.2.1矩阵的加法与数乘两个同型矩阵的对应元相加所得的矩阵称为A和B的和，记作C＝A＋B.(),()ijmnijmnAaBb()ijijmnCab矩阵的加法就是矩阵对应的元相加一、矩阵的加法说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如12345698186309153121826334059619583112.986447411132、运算性质1ABBA2ABCABC3AOAOAA4AAO另外，矩阵的减法定义为：A−B=A+(−B).设A,B,C,O为同型矩阵，则有注意：•而对于行列式一般|A+B|≠|A|+|B|11111212111211122121222221222122ababaabbababaabb1111121211111212111112122121222221222122ababababababababaabb•对于矩阵有11121112111211122122212221222122aaabaabbaaabbbbb1、定义二、数与矩阵相乘设l是一个数，矩阵，则称为矩阵A和数l的(数量)乘积，记为或.()ijmnAa()ijmnalAlAl.112222111211mnmmnnaaaaaaaaaAAlllllllllll特别的，称为数量矩阵.El矩阵的加（减）法和数乘统称为矩阵的线性运算，这些运算都归结为数（元）的加法与乘法.2、线性运算的运算性质运算性质设A,B为同型矩阵，l,m为数，则l(A+B)=lA+lB(l+m)A=lA+mAl(mA)=(lm)A例设3241,15A132431B有矩阵X满足A+3X=2B，求X.1(2)3XBA1332122441331152632148413621514107353解：又如设A=(aij)n，k为数，则111212122212nnnnnnaaaaaakAkaaa111212122212nnnnnnkakakakakakakakaka111212122212nnnnnnnaaaaaakaaa.nkA故对于n阶方阵A有:|kA|=kn|A|.三、线性组合给定若干个同型矩阵，经线性运算12,,,mAAA11221,mmmjjjAAAABllll(其中lj为常数，j=1,2,…,m)得到的矩阵B称为矩阵的线性组合.12,,,mAAA或者称矩阵B可经(由)矩阵线性表出（线性表示）.12,,,mAAA第三章将详细讨论.线性组合是讨论同型矩阵之间是否有所谓线性关系的基本概念.特别是当它们都是n维向量时，这种讨论很有用.例设110,00M201,00M300,10M400.01M11122122aaAaa11121111222132242122.aaAaMaMaMaMaa证明：任何一个二阶矩阵都是M1，M2，M3，M4的线性组合.证毕.证明：显然１、定义§2.2.2矩阵的乘法设，若矩阵满足(),()ijmnijnsAaBb()ijmsCc1122ijijijinnjcababab1nikkjkab(1,2,,;1,2,,)imjsC特点：C的第i行、第j列处的元＝A的第i行元与B的第j列对应元乘积之和.则C称为矩阵A和B的乘积，记作AB，读做A左乘B或B右乘A.例1222263422142C22163281610121130,0514A121113121430B例2求AB.?－2×2+4×(－3)故121113121430415003112101ABC.解:34,ijAa43ijBb33.ijCc567102621710注意只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.106861985123321例如不存在.AB右矩阵左矩阵如：上述矩阵A、B和另外矩阵,例3设1212(,,,),nnbbAaaaBb，则11221nnniiiABabababab111212122212nnnnnnbabababababaBAbababa1niiiab(1)mnCm注意该1×1矩阵作为运算结果可与数看作数ABC有意义，而实际无意义.，同等看待，但是在运算过程中不能视做数，这是因为数与矩阵的乘法和矩阵与矩阵的乘法是两种不同的运算.AB例4对于线性方程组11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(),ijmnAa12,nxxXx12,mbbbb.AXb若记则上述线性方程组可表示为矩阵方程矩阵的乘法为其它许多研究提供了方便的手段.２、矩阵乘法的运算性质;1BCACAB,2ACABCBA;CABAACBBABAABlll3（其中为数）;l4;mmnmnmnnEAAAE若A是阶矩阵，则为A的次幂，即5nkAkkkAAAAmkAAkmA为正整数k,m并对方阵A规定:A0=E.,并且,mkA.mkA(1)矩阵乘法不满足交换律，即一般：,BAAB.BAABkkk几点注意：这是因为一般它们运算的结果不是同型矩阵.即使是同型矩阵也不一定相等.例设1111A1111B则,0000AB,2222BA显然，AB≠BA,BA=BC.，C2002，BC2222特殊的，若矩阵A,B满足AB=BA，则称A与B是可交换的.例如:单位矩阵E和任何同阶方阵可交换.数量矩阵lE和任何同阶方阵可交换.显然，此时A,B均为同阶方阵.(2)由AB＝O不能得出A、B至少有一个零矩阵.如前面的A,B矩阵1111A1111B00.00ABO≠O,≠O,而1111A1111BO2222BABC2002C这一点一定要引起注意！(3)由BA=BC（或AB=CB），且B≠O，不能得出A＝C的结论，即乘法一般不满足消去律.如前面的,,，但A≠C.若BA=O,AB=O，不能得出A=O或B=O的结论，如10,01AOBO例5若A2＝B2＝E，则(AB)2=E的充分必要条件是A与B可交换.证明：充分性若A与B可交换，即AB＝BA，则(AB)2=ABAB=A(BA)B=A(AB)B=(AA)(BB)=EE=E=A2B2必要性若(AB)2=E，两边同左乘A，再右乘B得A(AB)2B=AEB=AB而A(AB)2B＝AABABB=(AA)BA(BB)=EBAE故BA＝AB，即A与B可交换.=BA例6如果方阵A，B满足AB＋BA＝E，且A2＝O（或B2＝O），则(AB)2=AB.故(AB)2=AB.证明：仅以A2＝O为例.在AB＋BA＝E两边同时左乘矩阵A，再右乘矩阵B得A(AB＋BA)B＝AEB=AB而A(AB+BA)B＝(AAB+ABA)B=(O+ABA)B=(AB)23、方阵的多项式1011()mmmmfAaAaAaAaE1011()mmmmfaaaallll(),()fgll()()(),()()().hfgsfgllllll()()(),()()().hAfAgAsAfAgA()()()().fAgAgAfA当A为方阵时，称矩阵为矩阵A的多项式，当l=A的值.性质：设是两个多项式，令(1)(2)也称f(A)是普通多项式4、n阶矩阵乘积的行列式方阵对应着行列式，于是有如下定理：定理：若A，B是n阶方阵，则|AB|=|A||B|.(此定理可以推广到有限个同阶矩阵的情况)(),(),()ijijijAaBbCABc111212122212111212122212000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAOABEBbbbbbbbbb证明：设，则由拉普拉斯定理知下式成立：1112121222121112121222120000000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAEBbbbbbbbbb利用行列式性质6，用-E的那些-1把中的B所在部分都消成0.0AEB0a11b11a21b11an1b11b11倍1112121222121212221200000000100010001nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAEBbbbbbbb1111ab11121121aabb21b02111ab22121121aabb111nab211211nnaabbb21倍1112121222121212222000000001000010001nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAEBbbbbbb11111221abab21112221abab111221nnababbn1倍01nb111nkkkaba11b11+a12b21+…+a1nbn1211nkkkab11nnkkkab1111112121222211121112122220000000010000100001nkkknnnkkknnnnnnkkknnnnnabaaaaaaabaaaAabEBbbbbbbc11c21cn11112111121212222122212120100000010000001000nnnnnnnnnnnnaaacccaaacccaaacccAEB0ACE再利用拉普拉斯定理按后n行展开[(1)(2)2](12)(1)nnnnECAB故：|A||B|=|AB|.C(21)(1)(1)||nnnCC注：(1)可推广到有限个同阶方阵相乘情况1212||||||mmAAAAAA(2)对于同阶方阵A,B有|A||B|=|AB|=|B||A|可推广：若A1,A2,…,Am是同阶方阵，则它们以任意次序相乘得到矩阵的行列式值相等。小结矩阵运算加法(含减法)数与矩阵相乘(数乘)矩阵与矩阵相乘方阵的行列式（2）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.线性运算线性组合的概念综合训练22()