第二章§27线性谐振子_10_22

§2.7线性谐振子一、求解一维线性谐振子的薛定谔方程（1）方程的建立（2）求解（3）应用标准条件（4）厄密多项式（5）求归一化系数（6）讨论二、物理意义2221xVdxdVF因为量子力学中的线性谐振子就是指在该式所描述的势场中运动的粒子。kxxdtxdkx其中0222经典力学中质量为的粒子，受弹性力F=-kx作用，由牛顿第二定律可得运动方程：其解为x=Asin(ωt+δ)，这种运动称为简谐振动，作这种运动的粒子叫谐振子。若取V0=0，即选取平衡位置处势能为0，则kxdxV所以0221Vkx02221Vx引言为什么研究线性谐振子？l自然界广泛碰到简谐振动，任何体系在平衡位置附近的小振动，例如分子振动、晶格振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等往往都可以分解成若干彼此独立的一维简谐振动。简谐振动往往还作为复杂运动的初步近似，所以简谐振动的研究，无论在理论上还是在应用上都是很重要的。例如双原子分子，两原子间的势V是二者相对距离x的函数，如图所示。在x=a处，V有一极小值V0。在x=a附近势能可以展开成泰勒级数：222)(!21)(!11)()(axxVaxxVaVxVaxaxaxV(x)0V02220)(!21axxVVax20)(21axkV•取新坐标原点为(a,U0)，则势能可表示为标准谐振子势能的形式：可见，一些复杂的势场下粒子的运动往往可以用线性谐振动来近似描述。221)(kxxUr)(rU0a（1）方程的建立021202122222222222)(][)(][xxEdxdxxEdxd则：，其中令：x22222222212212xdxdxpHˆˆ线性谐振子的Hamilton量：引入无量纲变量ξ代替xEdd20222其中)()()()(x附录：2222222212212ˆˆxdxdkxPH22kk)()(21222222xExxdxd0)(21222222xxEdxd0)(22222222xxEdxd;x令)(x22222222221dddddddxd20)(22222xEdd0)(2222EddE2令0)(222dd0)(22222222xEdd0)(2222xEdd0)(222222222xEdd0)(2222222222xEdd（2）求解0222dd其渐近解为：0222][dd满足束缚态条件：22/~e先看渐近解，即当ξ→±∞时波函数ψ的行为。此时，λξ2，于是方程变为：x,02/2)()(eH渐近形式，令：在无穷远处有的波函数为了使方程222220/~][edd可以证明，只有当：,,,,21021nn方程才有满足束缚态条件的级数解•其中H(ξ)必须满足波函数的单值、有限、连续的标准条件。即：l①当ξ有限时，H(ξ)有限；l②当ξ→∞时，H(ξ)的行为要保证ψ(ξ)→0。0)1(2HHH——厄密方程下面给出前几个厄密多项式具体表达式：H0(ξ)=1H1(ξ)=2ξH2(ξ)=4ξ2-2H3(ξ)=8ξ3-12ξ]exp[]exp[)1()(22nnnnddH)(]exp[)(nnnHN22112nE2,,,),(21021nnEn归一化波函数：其中：)(]exp[!)()(xHxnxnnnn22212则：，其中令：x归一化系数),(),(trtrrr（1）空间反射变换：（2）此时如果有：称波函数具有偶宇称；),(),(trtr称波函数具有奇宇称；),(),(trtr（3）如果在空间反射下，),(),(trtr则波函数没有确定的宇称。宇称称波函数具有n宇称；),()1(),(trtrnn值处迅速衰减。个根，在大有次，轴相交在有限范围内与nnnn01、定态波函数2、几率密度，微观趋向宏观很大时，量子趋向经典在量子数。除外点个零个极大几率点，有，nnnnn)(12-22-44|10|2而经典力学的谐振子在[-a,a]区间每一点上都能找到粒子，没有节点。n＝10时的概率密度分布3、能级)(21nEnnE能量等间距：)1(为基态，称零点能210,0)2(EEn也不停止振动。，固体中原子使在所要求的最小能量，即，这是测不准关系谐振子的零点振动能KT0)3(21这与无限深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，零点能是量子效应。•对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。4、基态波函数)(002221xHexx.1,1,)(,/21110101为经典禁区区域运动。，在经典：基态谐振子只能此处在，谐振子特征长度xxExVxEx)()2)(1()()12()()1()()()()()()2)(1()()12()()1()()()()(22212112222121211212222xnnxnxnnxxxxxnnxnxnnxxxxxxnnnndxdnnnnndxdnnnnnnnnn22)1()(eddeHnnnn0)(2)(2)()(2)(111nnnnnnHHHnHddH补充作业1：一维“无限深势阱”和“线性谐振子”是束缚态问题，具有分立的能量本征值。如具有确定动量和能量的粒子由无穷远入射，与“有限高”一维势阱相互作用(或称发生散射)，又传播到无穷远处。§2.8势垒贯穿按照经典力学，粒子不可能穿过势垒。但按照量子力学计算，粒子能穿过比它动能更高的势垒，这种现象称为隧道效应（tunneleffect）。透射系数：])(exp[)(||EVmaVEVET00022216经典量子隧道效应解释原子核衰变UTh+He2382344MeVE25.4rRU35MeV0GeorgeGamov隧道效应的应用(1)1986NobelPrize[德]G.Binnig[瑞士]H.Rohrer[德]N.Ruska1982年发明扫描隧道显微镜1933年发明电子显微镜ScanningTunnelingMicroscopy隧道效应应用(2)STM神经细胞的STM扫描图硅表面的STM扫描图1991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐个移动氙原子拚成了字母IBM，每个字母长5纳米本章要求1理解和掌握波函数的统计解释和量子力学的第一条基本假定2掌握态迭加原理3掌握薛定谔方程和量子力学的第二条基本假定4掌握定态、定态薛定谔方程、哈密顿算符、本征方程、本征值和本征函数等概念5掌握求解一维定态Schrödinger方程的基本步骤;6了解能量量子化,束缚态,零点能,分立谱,连续谱,厄密多项式等概念。