第二章习题解答

1习题二1.一袋中装有5只球，编号依次为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大的号码，写出随机变量X的分布律.解以X表示取出的3只球中的最大的号码，由古典概型易知X的分布律为2.一批产品包括10件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止.假定每件产品被取到的机会相同，求抽取次数X的分布律.解抽取产品为伯努里试验，设事件A={取到正品}，103(),11313PApqp事件{}Xk表示前1k次均取到次品，而第k次首次取到正品，则X的分布律11310{}(,(1,2,)1313kkPXkqpk）3.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p，当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数X的分布律.解由题设可知，自动生产线生产产品（废品与合格品）为贝努里试验，事件{}Xk表示首次出现废品之前已生产k个合格品，而生产合格品的概率为1p，则在两次调整之间生产的合格品数X的分布律为{}(1),(0,1,2,)kPXkppk4.将一颗骰子抛掷两次，X表示两次掷得的小的点数，求X的分布律.解样本空间{(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),,(2,6),,(6,1),,(6,6)}S,随机变量X的所有取值为1,2,3,4,5,6,X的分布律5.试确定常数c，使得下列函数成为分布律：（1）nkckkXP,,2,1,；（2）,0,1,2,,,0.!kPXkcknk，为常数.解（1）由n11kck得2(1)cnn;（2）由k0e1kkcc！得ce.X345kp3511C102335C3C102435C3C5X123456kp113693673653633613626.设在三次独立试验中，A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率为2719，求A在一次试验中出现的概率.解设A在一次试验中出现的概率为p，在三次独立试验中，A出现的次数为X,则~,)Xbp（3.X的分布律为33{}(1)kkkPXkCpp0,1,2,3k.故A至少出现一次的概率为319{1}1{0}1(1)27PXPXp，解得13p.7.一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率是0.1，问在同一时刻(1)恰有2个设备被使用的概率是多少？(2)至多有3个设备被使用的概率是多少？(3)至少有1个设备被使用的概率是多少？解设在同一时刻被使用设备的个数为X，则)1.0,5~（bX.X的分布律为kkkCkXP55)9.0()1.0(}{5,,1,0k.于是(1)恰有2个设备被使用的概率为2235{2}(0.1)(0.9)0.0729PXC(2)至多有3个设备被使用的概率是445555{3}1{4}{5}1(0.1)(0.9)(0.9)0.40906PXPXPXCC(3)至少有1个设备被使用的概率是5{1}1{0}10.90.40951PXPX8.甲、乙进行投篮，投中的概率分别为0.6，0.7.今各投3次.求（1）两人投中次数相等的概率；（2）甲比乙投中次数多的概率.解设各投3次甲、乙两人投中的次数分别为XY、，则~,0.6)~,0.7)XbYb（3、（3.X的分布律为33{}(0.6)(0.4)kkkPXkC0,1,2,3k,即{0}0.064,{1}0.288,PXPX{2}0.432,{3}0.216,PXPXY的分布律为33{}(0.7)(0.3)kkkPYkC0,1,2,3k，即{0}0.027,{1}0.189,PYPY{2}0.441,{3}0.343,PYPY（1）两人投中次数相等的概率为3300{}{,}{}{}0.32076kkPXYPXkYkPXkPYk3（2）甲比乙生产投中次数多的概率.331010{}{,}{}{}0.243kkklPXYPXkYkPXkPYl9.设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.20定为不合格不能出厂。现该厂新生产了(2)nn台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1）全部能出厂的概率；2）其中恰好有两件不能出厂的概率；（3）其中至少有两件不能出厂的概率；解记A=“仪器需调试”，A=“仪器能直接出厂”，B=“仪器能出厂”，AB=“仪器经调试后能出厂”，BAAB，()0.3PA，()0.8PBA，()()()0.30.80.24PABPAPBA()()()0.70.240.94PBPAPAB设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X作为所生产的n次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从二项分布，即(,0.94)XBn，因此（1）()0.94nPXn（）；（2）222(2)0.940.06nnPXnC（）（）（3）{2}1{1}{}PXnPXnPXn1110.940.060.94nnnC（）-（）110.060.940.94nnn（）-（）10.有一繁忙的汽车站，在一天的某段时间内出事故的次数X服从参数为0.1的泊松分布，问出事故的次数不少于2的概率是多少？解0.10.1{2}1{0}{1}10.10.0047PXPXPXee.11.某一公安局在长度为t的时间时隔内收到的紧急呼叫次数X服从参数为2t的泊松分布，而与时间时隔的起点无关（时间以小时计）。（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到的紧急呼叫的概率;（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到一次的紧急呼叫的概率.解2t（1）1.5，1.5{0}0.2231PXe（2）2.5，2.5{1}1{0}10.918PXPXe412.实验器皿中产生甲乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X服从参数为的泊松分布，试求（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率.解（1）X的分布律为{},0,1,2,!kePXkkk，k个细菌全部是甲类细菌的概率1()!2kkek，所以生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概率211()(1)!2kkkeeek（2）产生了细菌而且没有甲类细菌的概率等于生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概率,所以在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率为222221()2!2(1)8(1)eeee13.已知随机变量X的分布律为X-2-10124p0.20.10.30.10.20.1试求关于t的一元二次方程0)1(232XXtt有实数根的概率.解若关于t的一元二次方程0)1(232XXtt有实数根，则判别式22412(1)4(33)0XXXX，32132122XX或t的一元二次方程0)1(232XXtt有实数根的概率为321321{}{4,1,2}0.422PXXPXXX或14.从学校乘汽车到火车站途经3个交通岗，每个交通岗的红灯相互独立，红灯出现的概率都为0.4，设X表示“遇到红灯的次数”，求X的分布律及分布函数.解设X表示“遇到红灯的次数”，易知X的分布律为X0123kp30.6123(0.4)(0.6)C223(0.4)(0.6)C30.45即得X的分布律若当0x时，则xX是不可能事件，所以)(xF=0.当01x时，00.216PXxPX当12x时，010.648PXxPXPX当23x时，0120.936PXxPXPXPX当3x时，01231PXxPXPXPXPX故随机变量X的分布函数为0,0,0.216,01()0.648,120.936,231,3xxFxxxx，15.设随机变量X服从（0-1）分布，求X的分布函数，并作出其图形.解)10(分布的分布律写成表格形式若当0x时，则xX是不可能事件，所以)(xF=0.当01x时，01PXxPXp当1x时，011PXxPXPX故随机变量X的分布函数为0,0()1,011,1xFxpxx16.随机变量X的分布函数为.1,1,11,arcsin,1,0)(xxxbaxxFX0123kp0.2160.4320.2880.064X01kpp1p6(1)当ba,为何值时)(xF为连续函数？(2)当)(xF为连续函数时，求12PX；(3)当X是连续型随机变量时，求X的概率密度.解（1）(1)arcsin(1)02Fabab1(1)lim(arcsin)arcsin112xFabxabab故11,2ab0,1,1arcsin(),11,21,1.xxFxxx（2）当)(xF为连续函数时，00limlim[()()]0PXcPcXcFcFc111111()()222223PXPXFF（3）X是连续型随机变量时，X的概率密度.21-11,()10,.xfxx其它17.设随机变量X的概率密度为.,0,10,)(3其它xcxxf(1)试确定常数c；(2)随机变量X的分布函数；(3)求211XP解（1）由于01130101()()()()14fxdxfxdxfxdxfxdxcxdxc.所以.4c故X的概率密度为34,01,()0,.xxfx其它（2）当0x时，()()0xFxftdt.当01x时，340()()4xxFxftdttdtx.当1x时，130()()41xFxftdttdt7故40,0(),011,1xFxxxx（3）1132210111()4216PXfxdxxdx18.设随机变量X的概率密度为.,e21)(xxfx求随机变量X的分布函数.解当0x时，()()xxtxFxftdtedte.当0x时，00()()2xxttxFxftdtedtedte.故,0()2,0xxexFxex，19.若在（1，6）上服从均匀分布，求方程012xx有实数根的概率.解在（1，6）上服从均匀分布，随机变量的概率密度为1,16,()50,.xfx其它方程012xx若有实数根，则判别式240，22或,所以方程012xx有实数根的概率为6214{22}55Pdt或20.某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下的的概率密度21000,1000,()0,.xfxx其它现有一大批此种电子管（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，求其中至少有2只寿命大于1500小时的概率.解某只电子管的寿命大于1500小时的概率为215001500100021500()3PXfxdxdxx任取5只，记寿命大于1500小时的电子管的只数为Y，2(5,)3YB，从而21010.9547PYPYPY