苏教版必修第4册教材解读张乃达

苏教版必修第4册教材解读张乃达第8章三角函数1.关于教材的定位问：《三角函数》是数学4中的重要内容，请谈谈你们在编写这部分内容时的指导思想是什么？对这部分教材你们是怎样定位的？说明要点：（1）在编写教科书时，首先要对教材定位，也就是对这一章的教材有一个总体的认识，一个核心的指导思想。这个认识将指导整个编写工作。诸如教育目标的确定，内容的取舍，结构的安排，呈现方式的设计都是受这个核心思想的制约的。（2）不同的教材有不同的定位，教材的定位集中地体现在它的引言中。下面我们就从三种教材的引言中，来看它们的“定位”（插入幻灯片：本章目录、引言）（3）《三角函数》虽然是高中数学课程的传统内容，但是不论是和以往的教科书还是和其它的实验教科书相比，我们的教科书都具有鲜明的特点。（4）比较三种教材的引言。①原来的教材（老教材）在引言中，举出了一道数学问题，告诉学生如果学习了三角函数知识以后，会有更简便的解法。进而简要地说明了本章将要学习的内容和意义。设置背景：一道用三角知识可以做得更简便到数学（应用）题。提出问题：没有向学生提出问题。明确任务：学习和研究任意角的三角函数、三角变形，三角函数的图象…等知识。②教材2的引言：提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象；提出问题：如何用数学的方法来刻画这种（周期性）变化的规律？明确任务：指出三角函数就是刻画周期性变化规律的数学模型。我们要研究三角函数的意义，性质和应用。学习的起点是：三角函数究竟是一种什么样的函数？教材的定位是：学习和研究是描述周期现象的重要数学模型：三角函数；③苏教版的引言：提供背景：自然界广泛地存在着周期性现象，圆周上一点的运动是一个简单又基本的例子；提出问题：用什么样的数学模型来刻画周期性运动；明确任务：建构这样的数学模型。前提出了研究“纲领“；教学的起点是：对周期性现象的数学（分析）研究；教材的定位是：展示对周期现象进行数学研究的过程，即建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程。2．教科书的的特点苏教版教材把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型的（思维）过程”，为了保证这个定位的落实，或者说，作为定位的具体体现，教材形成了鲜明的特点：1．采用以问题链为线索的呈现方式。说明要点（1）既然教材要展示“思维过程”，而思维是从问题开始的，思维的过程就是不断地提出问题，解决问题的过程。所以教材采用了以问题链展开的呈现方式。注意提出问题的环节，注意问题间的逻辑联系，强化目标（建构刻画周期性现象的数学模型）的指向作用；（2）例子：任意角三角函数任意角三角函数概念无疑是本部的核心概念。苏教版的教材和其它的教材一样是在讲了“任意角”、“弧度制”以后，通过对锐角三角函数的考察后建立起任意角三角函数的概念的。应该指出的，尽管在建立三角函数概念的程序上看起来是相同的，只是在具体的处理方法上有些“微妙“的差异，可是不应该小看了这里的差异，因为这些差异正是对教材不同定位的表现。插入幻灯片：人教版任意角的三角函数P12；人教版的教材是从讨论锐角三角函数开始的。对这样的安排，人们会问：问：为什么要讨论锐角三角函数呢？回答可能是“为了建立任意角的三角函数的概念”。问：为什么要建立任意角的三角函数的概念呢？回答可能是因为任意角的三角函数正是“刻画周期性现象的数学模型”。问：为什么任意角的三角函数可以刻画周期性现象呢？可能的回答只能是：你们研究了三角函数的性质就知道了。其实还有一个更尖锐的也是更重要的问题，今编者和学生都无法回答。这就是：问：研究周期性现象时，你怎么会想到“锐角三角函数”的？由此可见，尽管学生看起来是参与了建立三角函数概念的活动，但是他们并不知道这些活动的意义！造成这种现象的根本原因，就在于教材的编者根本就没有想展示三角函数建构的过程，而只是想让学生认识到三角函数是刻画周期性现象的数学模型。也就是说，教材的定位是对三角函数的研究，而不涉及这个数学模型是如何从对周期性现象的研究中被建构出来的过程。由于苏教版对教材的定位不同，在处理上也就不同了。插入苏教版的任意角的三角函数P12。教材在提出：“怎样将锐角三角函数推广到任意角？”之前，还安排了一个问题：“用怎样的数学模型模型建立（x,y）与（r,α）之间的关系？这就是考察锐角三角函数的“理由”。那么，又怎么想到要研究（x,y）与（r,α）间的联系的呢？这是因为用（r,α）（x,y）都可以表示圆周上的点。那么，为什么要表示圆周上的点呢？这是为了刻画圆周上点的运动。那么为什么要刻画圆周上点的运动呢？这是因为它是周期现象的“一个简单又基本的例子”为什么要研究周期现象呢？因为我们的任务就是要“建构刻画周期性现象的数学模型。”这里使用的这是问题串，它揭示了建构数学模型的思维过程，在问题串的指引下，学生真正主动地参与了建构活动。这正是我们把本章定位为“展示建构刻画周期性现象的数学模型”的原因。问题串展示了建构数学模型的过程，揭示了数学知识间的联系。2．以“数学地研究”的一般程序来组织、选取教学内容。说明要点（1）教材以右图为主线展开。（2）教材充分发挥学习“函数”一章的经验在建构“刻画周期性现象的数学模型”中的作用，在结构上尽可能地与“函数”一章相同。（3）为了突出“建构—研究—应用”这一主线，教材对传统的教学内容做了“强干削技”的处理。如，抽出“三角变换”的内容，另立一章；把6种三角函数减为3种等等。这样做一方面可以让学生利用已有的经验，掌握学习的主动权，发现数学知识的联系，加深对知识的理解；另一方面又突出了基本的数学思想和数学地研究问题的方法，有利于正确的数学观念的形成。插入本章知识结构图3．突出周期性。说明要点：（1）本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，在教材中，我们突出了周期性，把它看成是教材编写的出发点和归属。（2）例子：三角函数的性质在很多教材中，总是通过作出三角函数的图象，然后再由图象的观察得到三角函数的性质的。对此，苏教版的教材做了不同的处理。插入苏教版：三角函数的图象与性质（P26）这里的处理有如下特点：（1）首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节；（2）三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式即从以前的研究过程中得到的。相反，三角函数周期性的研究为正确起了指导作用。（3）在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型。这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性？这样的编排，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用。周期函数的定义是教学中的一个难点。在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义。（4）在教学中应该注意的是，本章讨论的只是三角函数的周期性，在教学中不要过多地对一般的周期性函数做讨论。4．加强几何直观，强调形数结合的思想说明要点（1）三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系。在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．如在三角函数及其性质的学习中，注意充分发挥单位圆的直观作用，借助单位圆认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图象；通过角终边之间的对称关系来研究诱导公式；借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与轴的交点等性质；另一方面以数助形，例如应用三角函数的周期性来简化函数图象的作图．（2）例子：诱导公式的推导。插入老教材诱导公式的幻灯片在过去的教材中，诱导公式是求三角函数值的问题引人的。教科书的研究程序是：（1）提出的问题：（2）明确问题：要研究特定的角（α与180°-α，-α，360°-α等等）之间的三角函数值的关系。（3）研究特定角的终边的位置关系；（4）研究特定角的三角函数值的关系，得到诱导公式。苏教版是这样处理的：插入苏教版诱导公式的幻灯片提出问题：由三角函数的定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等。除此以外还有一些角，它们的终边具有某种特殊关系，如关于坐标轴对称，关于原点对称等，那么它们之间的三角函数值之间具有什么样的关系呢？解决问题的程序如下：这两种处理方式的区别是明显的：第一、提问题的角度不同。老教材从“计算求角”提出问题，这和它把三角函数看成“变换”的工具这个认识一致的。这样的问题就偏离了“研究刻划周期性数学模型”的中心；而苏教版中的问题是“从对三角函数的性质进行研究”，这个主题中派生出来的，是对“模型“研究的一个有机的组成部分。第二、三角函数的值是由角的终边的位置决定的，因此从终边的位置关系提出问题就更为合理；第三、苏教版的处理方式突出了形数结合思想。特别是教材中，在小结时，更是深刻地揭示了诱导公式的本质，堪称经典：“诱导公式所揭示的是终边有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系”翻译“成三角函数之间的代数关系。第四、由于苏教版教材更好准确地抓住了诱导公式的本质，所以整个处理过程，一气呵成，自然合理，便于理解和记忆。四、教学建议1．准确把握教学要求说明要点：（1）与过去的教材相比，新教材强调了三角函数是一种“数学模型”课程标准提出的教学要求是：①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。②借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切），能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性。④借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。⑤理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tanx。⑥结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（ωx+φ）的图象，观察参数A，ω，φ对函数图象变化的影响。⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。（2）与以往的三角函数内容相比较，本章提出了对三角函数作为刻画现实世界的数学模型的认识的要求，加强了对借助单位圆理解三角函数的概念、性质，以及通过建立三角函数模型解决实际问题等内容。标准删减了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数求角，反三角函数符号等内容。降低了对任意角概念，弧度制概念，同角三角函数的基本关系式，诱导公式，三角函数的奇偶性的要求。这样的处理，把重点放在使学生理解三角函数及其基本性质、体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用上，而对一些细枝末节的内容不再作过多要求。教学时应当把握好这种变化，遵循标准所规定的内容和要求，不要随意补充已被删减的知识点。也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目(例如求定义域、值域;已知sina=m求的其他三角函数值;用诱导公式进行复杂变换的问题等)。（3）但是也不能放松基本的技能训练，应该让学生记牢并熟练地使用诱导公式，同角三角函数关系式，能用五点法画出正（余）弦函数的图象等，因为这是利用三角函数解决问题的基础。2．注意从数学模型的角度来认识三角函数，突出数学思想方法在数学模型建构中的作用。说明要点：（1）要突出数学模型思想。教学中应当充分利用章引言提供的情境，引导学生利用学习《函数》的经验，自觉地参与建构刻画周期现象的数学模型的活动，使学生从学习之初就建立起从数学模型的角度看三角函数的意识，在此基础上，