第二章数列等比数列练习1

第1页（共20页）第二章数列等比数列练习1一．选择题（共12小题）1．（2014•天津）设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（2015•福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．93．（2015•呼和浩特一模）正项等比数列{an}中，an+1＜an，a2•a8=6，a4+a6=5，则=（）A．B．C．D．4．（2016•杭州模拟）已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0D．若a4＞0，则S2014＞05．（2013•新课标Ⅰ）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，则（）A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列6．（2011•四川）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0B．3C．8D．117．（2015•忻州校级四模）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn，则Sn=（）A．B．C．D．第2页（共20页）8．（2014•永川区校级学业考试）若a，b，c成等比数列，则函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数为（）A．0B．1C．2D．0或19．（2012春•工农区校级期中）已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若S21=S4000，O为坐标原点，点P（1，a1），点Q（2011，a2011），则•的值为（）A．2011B．﹣2011C．0D．110．（2010•台州模拟）已知向量，，（n∈N*），若a1=2，且，则数列{an}的前n项和Sn=（）A．2n2+2nB．n2+nC．n2+n﹣1D．11．（2012•四川）设函数f（x）=2x﹣cosx，{an}是公差为的等差数列，f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则=（）A．0B．C．D．12．（2014•武汉模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则cosAcosB=（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题）13．（2014•广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…lna20=．14．（2014•上海模拟）已知定义在R上的函数f（x）是奇函数且满足，f（﹣2）=﹣3，数列{an}满足a1=﹣1，且（其中Sn为{an}的前n项和），则f（a5）+f（a6）=．第3页（共20页）15．（2015•张家港市校级模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．若S3，S9，S6成等差数列，则的值是．16．（2012秋•东台市校级期中）设数列{an}是首项为0的递增数列，，满足：对于任意的b∈[0，1），fn（x）=b总有两个不同的根，则{an}的通项公式为．三．解答题（共7小题）17．（2015•益阳一模）已知在△ABC中，三条边a，b、c所对的角分别为A、B，C，向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），且满足•=sin2C．（1）求角C的大小；（2）若sinA，sinC，sinB成等比数列，且•（﹣）=﹣8，求边c的值并求△ABC外接圆的面积．18．（2015•天津）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn=anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和．19．（2015•重庆）已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．20．（2013•天津）已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn（n∈N*），且S3+a3，S5+a5，S4+a4成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值．21．（2015•重庆一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，S5=4a3+6，且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和公式．第4页（共20页）22．（2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和．23．（2014•四川）设等差数列{an}的公差为d，点（an，bn）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）（Ⅰ）证明：数列{bn}为等比数列；（Ⅱ）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{anbn2}的前n项和Sn．第5页（共20页）第二章数列等比数列练习1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2014•天津）设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2C．D．﹣【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．【解答】解：∵{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．2．（2015•福建）若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a+b=p，ab=q，再由a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．【解答】解：由题意可得：a+b=p，ab=q，∵p＞0，q＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．第6页（共20页）【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，考查了等差数列和等比数列的性质，是基础题．3．（2015•呼和浩特一模）正项等比数列{an}中，an+1＜an，a2•a8=6，a4+a6=5，则=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】通过已知条件，求出a4，a6，通过等比数列的性质推出的值．【解答】解：因为正项等比数列{an}中，an+1＜an，a2•a8=6，a4+a6=5，所以a4•a6=6，a4+a6=5，解得a4=3，a6=2，=．故选D．【点评】本题考查等比数列的基本运算，性质的应用，考查计算能力．4．（2016•杭州模拟）已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0D．若a4＞0，则S2014＞0【考点】等比数列的性质．菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列．【分析】对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案．【解答】解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=1，故错误；对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但S2014=0，故错误；对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以a1＞0．当公比q＞0时，任意an＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013=＞0，故C正确，故选：C．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．第7页（共20页）5．（2013•新课标Ⅰ）设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，an+1=an，，，则（）A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】数列递推式；数列的函数特性．菁优网版权所有【专题】压轴题；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1﹣cn+1=，得bn﹣cn=，可知n→+∞时bn→cn，据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=（bn+cn﹣2an），∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1，又由题意，bn+1﹣cn+1=，∴=a1﹣bn，∴bn+1﹣a1=，∴bn﹣a1=，∴，cn=2a1﹣bn=，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选B．第8页（共20页）【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．6．（2011•四川）数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn=an+1﹣an（n∈N*），若b3=﹣2，b10=12，则a8=（）A．0B．3C．8D．11【考点】数列递推式．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10，联立方程求得b1和d，进而利用叠加法求得b1+b2+…+bn=an+1﹣a1，最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】解：依题意可知求得b1=﹣6，d=2∵bn=an+1﹣an，∴b1+b2+…+bn=an+1﹣a1，∴a8=b1+b2+…+b7+3=+3=3故选B．【点评】本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．7．（2015•忻州校级四模）已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣