第二章无限期界与世代交叠模型(罗默版本).

无限期界与世代交叠模型Infinite-HorizonandOverlapping-GenerationsModels•PartATheRamsey-Cass-KoopmansModels•PartBTheDiamondModel•索洛模型中储蓄率外生，拉姆齐模型则改进这一点，储蓄率内生。•消费路径和储蓄率由完全竞争市场中相互作用且追求最优化的家庭和企业共同决定。•跨期预算约束下研究具有无限寿命的家庭，他们通过在消费和储蓄之间选择来最大化其效用。•A部分：拉姆齐-卡斯-库普曼模型2.1假设•1.厂商•完全竞争市场•存量大量的厂商•企业生产函数相同：Y=F(K,AL）•生产函数为新古典生产函数•按生产要素支付报酬•2.家庭•大量同质的家庭•家庭规模以不变外生速率n增长•家庭每个成员在每个时点供给1单位劳动•家庭将拥有的资本租给厂商•初始资本存量为K(0)/H，K(0)是经济中初始资本存量，H是家数量•假定不存在资本存量•家庭通过供给劳动和出租资本获取收入，并拥有从厂商利润•消费者将收入在消费和储蓄之间分配以最大化其一生效用•虽然个体的生命是有限的，但家庭是无限延续的。•如果利他主义的父母将一切传承给孩子，子又传孙，孙又传子，如此循环，那么该假定是合理的。•家庭效用函数形式为：•C(t)是每个成员在时点t的消费•u(·)是瞬时效用函数•L(t)为经济中的总人口•L(t)/H为每个家庭的成员数•u(C(t))L(t)/H为t时刻家庭的总瞬时效用•ρ为贴现率，ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费估值越低。)1.2()())((0dtHtLtCueUtt•瞬时效用函数u(C(t))为凹函数，即•u'[C(t)]0，u''[C(t)]0•常用的瞬时效用函数为：)2.2(0)1(,0,1))((1gnCtCut•（1）边际效用弹性不变•（2）跨期替代弹性不变，相对风险厌恶系数不变•【证明】下标1，2表示两期的消费，定义跨期替代弹性为：•由消费者均衡条件得：•代入得：•令时间1趋近于2，得到瞬时弹性'''''uCuuCdCdu)2/1/()2/1()2/1(/)2/1(PPCCPPdCCd21)2(')1('PPCuCu2/1)2('/)1(')]2('/)1('[)2/1(CCCuCuCuCudCCd1)('')('CCuCu•（3）边际效用为正，当θ1时，边际效用随C增加而减少，当θ1时，边际效用随C增加而增加。当θ=1时，效用函数变为对数效用函数u(c(t))=lnc(t)•除以1-θ是为了保证边际效用为正。•(4)是为了保证终生效用不发散。)('Cu0)1(gn2.2家庭和厂商行为•1.厂商行为•厂商时利润最大化的厂商•按边际产品支付要素报酬•由于是规模报酬不变的竞争性厂商，因此厂商的利润为0。ALALYKKYY)(•t时刻的真实利率为：•t时刻的真实工资为：•t时刻每单位有效劳动的工资为：)3.2())(()(tkfKFtr)4.2())](()())(()[(),(),(tkftktkftAALALKFALALKFW)5.2())(())(()(tkfktkftw2.家庭的预算约束•家庭面临的预算约束：其一生消费的现值不能超过其初始财富加上一生的收入（利息r和工资w，均为外生变量）。•r可能随时间变化，所以定义：•如果r(t)保持不变，则R(t)=rttdrtR0)()(•家庭预算约束为：)8.2(0])()]()([)0([lim)7.2(0)()]()([)0()6.2()()()0()()(0)(0)(0)(0)(tsttRstttRtttRtttRdHtLtCtWeHKdHtLtCtWeHKdHtLtWeHKdHtLtCe•s时刻，家庭拥有的资本存量为：•预算约束可以简写为：•（2.10）为非蓬齐条件。)9.2(])()]()([)0()(0)()()(tsttRsRsRdHtLtCtWeHKeHsK)10.2(0)(lim)(HsKesRs3.家庭效用最大化问题•家庭在预算约束下最大化其一生效用•由于假设技术进步是劳动增强型，因此必须将代表性家庭的最大化目标函数和预算约束写成包含单位有效劳动的形式。•C(t)为人均消费，c(t)为单位有效劳动消费，其他变量类似，则瞬时效用函数可以写成：)11.2(1)()0(1)(])0([1)]()([1)())((1)1(11111tceAtceAtctAtCtCugtgt•家庭目标函数可以写成：gnHLABdtceBdtceHLAdHeLtceAedHtLtCeUttttttgntntgtttttt)1(,)0()0()12.2(]1)(]1)()0()0()0(]1)()0([)(1)(11010])1([11)1(1010•单位有效劳动形式预算约束方程：)14.2()()0()()0()0()()0()0()0()0()0()()13.2()()()()0()0()0()()()()()()()0()0()0()()()()6.2()()()0()()(0)()(0)()(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(tttgntRtttgntRttntgttRttntgttRtttRtttRtttRtttRtttRtttRdetwekdetcedHeLeAtweHLAkdHeLeAtcedHtLtAtweHLAkdHtLtAtcedHtLtwtAeHLAkdHtLtctAedHtLtWeHKdHtLtCe•单位有效劳动的非蓬齐条件变为：)15.2(0)(lim)()(skeesgnsRs4.家庭行为tttgntRtttgntRtttdetwekdetcetsdtceBU0)()(0)()(10)()0()(..]1)(:max•构造拉格朗日函数：•对c(t)求导，得一阶条件为：])()()0([1)()(0)(0)()(1dtetcedttweekdttcBLtgnttRttgntRotte)17.2()()()(tgntRteetcBe•利用变分法得到：•泛函：•的欧拉方程为：dtdyydyytFyVtT/],,[)(00)()(yytyyyyFFtyFtyF•特殊情形：•Case1：•欧拉方程为：•Case2：•欧拉方程为：•Case3：•欧拉方程为：•Case4：•欧拉方程为：constantFy0)()(yyyyyFtyFtyF),(ytFF),(yyFF)(yFF0)(tyFyy),(ytFF0),(ytFy•两边取对数•对时间t求导：)17.2()()()(tgntRteetcBe)18.2()()(ln)()(ln)(lnln0tgndrtgntRtctBt)19.2()()()(--gntrtctc•劳均消费c(t)调整路径欧拉方程：•人均消费C(t)变动轨迹为：）（20.2)()()(grgntrtctc）（21.2)()()()()()()(rgntrgtctctAtAtCtC•欧拉方程的理解：•欧拉方程”表明家庭可以在不改变一生支出的现值的情况下通过调整其消费增加一生的效用。•如果实际报酬超过了未来消费的贴现率劳均消费会增加；•θ越小，随着消费的变化，其边际效用变动越小，对于实际利率与贴现率之间的差异，劳均消费变动越大。•从跨期消费权衡视角来考虑：•消费者将今天的消费节省一部分用于明天消费，均衡出必然要求两者变动导致的终身总效用不变。•假设t时刻消费者将dc的消费转化为储蓄，导致的效用损失为：•在一个较短的时刻dt将其进行投资，并在t+dt时刻消费这部分收入带来的效用增加量为：)()(tdctcBetdttctcdtgntrdttetcdttcdcedttdcdttdcdttcBe)](/)([])([)()()()()()(•消费者均衡条件为终生效用保持不变，即消费变动带来的效用损失和储蓄投资带来收入增加导致的效用增加量必须相等，所以：•两边除以并取对数得：)22.2()(])([)()(])([)](/)([)(tdceetcBetdctcBedtgntrdttctcdttt)()(tdctcBetgtrtctcdtgntrdttctcdt)()()()23.2(0])([)](/)(-tttgntRtttntRtttgntgtRtRtttgntRtttgntRtgtRdetwekdecdeecedetwekdetceectcgrtctc0)()(0/])()()1[(0)(/])()([)(0)()(0)()(/])()([)()0()0()0()14.2()()0()()0()(20.2)()(）（2.3经济动态学•1.单位有效劳动人均消费c的动态学•均衡时，•所以（2.20）变为：）（20.2)()(grtctc)(kfr）（24.2)(()()(gtkftctc•当有效劳动人均消费增长率等于0时，）（24.2)(()()(gtkftctcgkgtkf*0)((0)(,)()(0)(,)()(0)(,)()(******tcgkfkfkktcgkfkfkktcgkfkfkk•有效劳动人均消费动态图0c0c0cc*kk2.单位有效劳动人均资本存量动态学•单位有效劳动的人均资本存量k的运动方程同索洛模型一样，人均资本存量等于实际投资减持平投资。•同样假设不存在折旧。)25.2()()()())(()(tkgntctkftk0)()(,))(())((,0)()(,))(())((,0)()(,))(())((,)())(()()()()())(()(0)(******tktcgntkftkfkktktcgntkftkfkktktcgntkftkfkkgntkftktctkgntkftctkGoldGoldGoldGoldGoldGold•有效劳动人均资本存量动态图0k0k0kckˆ3.相图分析•与位置比较：•在处，，在处，•横截性条件*kgkf)(**k*GoldkgnkfGold)(**Goldk****0)()()1())((0)())((0})]()([exp{)(lim)15.2(0)(limGoldtttgntRtkkgngnggtkfgntkfdtgntrtktkeeE0cc*kk*Goldk0k•单位有效劳动人均消费和资本存量相位图E0cc*kk*Goldk0k•单位有效劳动人均消费和资本存量相位图)0(kABCFD•D点，初始消