第二章条件极值问题的变分法(16K)

28第二章条件极值问题的变分法§2.1函数的条件极值问题，拉格朗日乘子这里让我们概要的说明在给定的约束条件下，函数的极值问题。这类附带约束条件的极值问题，称为函数或泛函的条件极值问题。对于一个函数，如),(yxF，其绝对极小值是根据下面条件求得，0),(0),(yxFyFyxFxFyx（2-1）解（2-1）式，可以求出相应的解11,yx，将1x与1y代入函数),(yxF则可获得函数的绝对极小（极大）值。如果我们给定一约束条件),(yx，则表示),(yxF在给定的约束条件),(yx的情形下，求),(yxF的极值。显然，这种带有约束条件下求极值，相当于把所求范围缩小了，如果存在有极值的话，那么，这个极值不是绝对极小（或极大）值，而是相对值，它总大于（或等于）无条件时的极小值，或总小于（或等于）无条件时的极大值。对这类条件极值问题，一般多利用所谓的拉格朗日乘子法。拉格朗日乘子法可以如此理解，),(yxF的极值条件可以写成0dddyyFxxFF（2-2）约束条件可以写成0),(yx（2-3）因此（2-2）式中的xd,yd不是独立的，而是由（2-3）式的微分关系式0ddyyxx（2-4）连系着的。假定0y，解（2-4）式，得yxxydd（2-5）而（2-2）式可化为0d)(d)dd(dxyxyFxFxxyyFxFF（2-6）于是把（2-6）式与（2-3）式连在一起，是求解极值点11,yx的两个方程式。如果用拉格朗日乘子法，可构造以下函数，如),(),(),,(yxyxFyxF（2-7）式中称为拉格朗日乘子。),,(yxF的极值条件为0d),(d)(d)(dyxyyyFxxxFF（2-8）这里把d,d,dyx都看作是独立的任意变量，于是从（2-8）式可得到0xxF，0yyF，0),(yx（2-9）消去，得290yxyFxF，0),(yx（2-10）这与（2-3）式和（2-6）式完全相同，所以用拉格朗日乘子法与上面介绍的方法是等价的。现在让我们在约束条件0),,,(0),,,(0),,,(21212211nknnxxxxxxxxx（2-11）下求函数),,,(21nxxxF（2-12）的极值，其中nk。同样可用拉格朗日乘子法，设拉格朗日乘子为k,,,21，并用),,(),,,(211321nikiinxxxxxxxFF（2-13）把F作为nxxx,,21,k,,,21的kn个独立变量的函数，求其极值。njkiiijjikiijxxxFF111dd][d（2-14）由于ijx,都是独立变量，于是由0d*F，得),,2,1(0),,,(),,2,1(0211kixxxnjxxFnijjkiij（2-15）这是求解kn个变量的kn个方程。（2-15）式还可以通过以下方法求得。（2-12）式的变分极值要求njjjxxFF10dd（2-16）因为有（2-11）式的k个约束条件，所以这些jx中只有kn个是独立的。从（2-11）式的k个约束条件可以求得下列微分条件njjjikixx1),,2,1(0d（2-17）将（2-17）式乘以i，与（2-16）式相加，得njjjikiijjjinjixxxFxxF1110d][dd（2-18）这里的),,2,1(kii是任选的，如果我们选择k个待定的i，使下面k个条件kijiijkjxxF1),2,1(0（2-19）满足，则（2-18）式就可以写成nkjjjikiijxxxF110d][（2-20）这里),,2,1(dnkkjxj是作为独立量出现的，于是),,2,1(01nkkjxxFjikiij（2-21）将（2-19）、（2-21）及（2-11）式合在一起，即可得到（2-15）式的相同求解极值方程。这就证明了拉格朗日乘子法。30§2.2泛函在约束条件),,2,1(0),,,,(21kiyyyxni下的极值问题泛函的条件极值问题与函数的条件极值问题处理方法完全相同。【定理】泛函xyyyyyyxFxxnnd),,,;,,,,(212121（2-22）在约束条件);,,2,1(0),,,,(21nkkiyyyxni（2-23）下的变分极值问题所确定的函数)(,,,,321xyyyyn，必满足由泛函2121dd]λ[1xxxxikiixFxF（2-24）的变分极值问题所确定的欧拉方程),,2,1(0)(ddnjyFxyFjj（2-25）其中)(xi),,2,1(ki为k个拉格朗日乘子。我们把jy和)(xi都看作是泛函的变量，所以0i同样也可以看作是泛函的欧拉方程。（2-25）式也可以写成),,2,1(0)(dd)(λ1njyFxyxyFjjikiij（2-26）现在让我们证明这个定理。首先求泛函（2-22）式的变分，它经过分部积分（用端点给定不变的条件）可以写成njxxjjjxyyFxyF121dδ)dd(δ（2-27）注意到这里的jyδ不是独立的，它是由约束条件（2-23）连系着的。设)(xi),,2,1(ki为特定函数，于是有),,2,1(0d),,,,(2121kixyyyxnixxii（2-28）变分得njxxjjiiikixyyx1),,2,1(d])([δ21（2-29）把（2-27）式和（2-29）式相加，记kii1，得极值条件0dδ)](dd)(λ[δ1121njxxjjkijiijxyyFxyxyF（2-30）因为)(xi是ki,,2,1个任意特定函数，假定这k个函数由下列k个线性方程决定的，kijjiiiyFxyFyx10)(dd)()21(kj，，，（2-31）这里只要求行列式02122222111211kkkkkjiyyyyyyyyyy（2-32）就可以从（2-31）式中求得待定的拉格朗日乘子的解。根据（2-31）式，变分方程（2-30）式中，剩下的变分项只有关系到nkkyyyδδδ21，，，等kn项了。即310dδ])(dd)(λ[δ1121nkjxxjkijjiijxyyFxyxyF（2-33）这kn项),,2,1(δnkkjyj都是独立任意的。运用变分法预备定理后，得0)(dd)(λ1kijjiijyFxyxyF),,2,1(nkkj（2-34）将（2-31）、(2-34)两式加在一起，便证明了（2-26）式是正确的，即证明了上述定理。下面讨论对于约束条件0),,,,,,,,(2121nniyyyyyyx的泛函极值问题。对于泛函xyyyyyyxFxxnnd),,,,,,,,(212121（2-35）在约束条件0),,,,,,,,(2121nniyyyyyyx);,,2,1(nkki（2-36）下的变分极值问题所确定的函数)(,,,21xyyyn必须满足由泛函2121dd])([1xxxxikiixFxxF（2-37）的变分极值问题确定的欧拉方程),,2,1(0)(ddnjyFxyFjj（2-38）或),,2,1(0])([dxd)(11njyxyFyxyFjikiijkijiij（2-39）在（2-37）式的变分中，我们把),,2,1(njyj和),,2,1(kii都看作是的变量，所以0i也同样可以看作是泛函的欧拉方程。§2.3泛函在积分约束条件21d),,,,,,,,(2121xxinnixyyyyyyx),,2,1(ki下的极值问题将约束条件用泛函形式表示为0d),,,;,,,,(212121xxinnixyyyyyyx),,2,1(ki，i为常数（2-40）【定理】泛函21d),,,,,,,,(2121xxnnxyyyyyyxF（2-41）在约束条件（2-40）式下的变分极值所确定的函数)(,,,21xyyyn必须满足泛函kiixxiixxxxF1)d(λd2121kiiixxkiiixF11λd]λ[21kiiixxxF1λd21（2-42）的变分极值问题所确定的欧拉方程32),,2,1(0ddnjyFxyFjj（2-43）在（2-42）式的变分中，我们把),,2,1(njyj和),,2,1(kii)(nk都看作泛函的变量，但iλ在这里是待定常量。所以（2-40）式同样可以看作是泛函的欧拉方程。（2-43）式也可以写成),,2,1(0)(dd11njyyFxyyFkijiijkijiij（2-44）现在可以引进新的未知函数，把约束条件ixxix21d的极值问题，化为0i型的条件极值问题，引进符号),,2,1(d),,,,,,,,()(12121kixyyyyyyxxzxxnnii（2-45）因此有0)(1xzi，iixz)(2，对x求导数，得),,2,1(),,,,()(2121kiyyyyyyxxznnii（2-46）因此，约束条件（2-40）式可以由（2-46）式来代替。于是，我们的极值问题变为泛函（2-41）式在约束条件（2-46）式下的变分极值问题，根据§2.2节的定理，这种极值问题可以化为求泛函2121dd})]()[({1xxxxkiiiixFxxzxF（2-47）的无条件极值问题，其中kiniinnyyyxxyyyyyyxFF1212121,,,,,()[(),,,,,,,,()](),,,21xzyyyin（2-48）把nnnnzzzyyyyyy,,,,,,,,,,,,21212121，，，当作独立函数，（2-47）式在变分后给出欧拉方程),,2,1(0ddnjyFxyFjj（2-49）),,2,1(0ddkizFxi（2-50）),,2,1(0)(kixzii（2-51）把（2-48）式代入（2-49）及（2-50）式中，可以把它们进一步简化为),,2,1(0])([dd)(11njyxyFxyxyFkijiijkijiij（2-52）),,2,1(0)(ddklxxl（2-53）),,2,1(0)(kixzii（2-51）由（2-53）式证明了l都是常数，（2-52）式为),,2,1(0][dd11njyyFxyyFkijiijkijiij（2-54）而（2-51）式就是约束条件（2-46）式，（2-54）