第二章概率与概率分布.

管理数量方法与分析授课老师：宋杰修联系方式：邮箱：[e-mail]手机:[phone]QQ:372530880第二章：概率与概率分布132随机事件与概率随机变量及其分布随机变量的数字特征与独立性4大数定律与中心极限定理学习内容132理解概率与概率分布的相关概念、定义、定律和定理掌握随机事件概率的性质与计算掌握随机变量及其分布的性质与测定方法4掌握随机变量数字特征及其测定方法学习目标5了解大数定律与中心极限定理的本质内容2.1随机事件与概率2.1.1随机事件：①一类是一定条件下必然出现的现象，称为确定性现象。②另一类是事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象。P45③随机事件的概念:在概率论中，将随机试验中可能发生也可能不发生的结果都称为随机事件，简称事件，通常用A、B、C……表示。P45③随机事件的相关概念：a)将实验结果中的每一个结果称为一个样本点，又称为基本事件。b)把所有实验结果组成的集合称为样本空间，用Ω表示。c)将随机实验中必然出现的结果称为必然事件。d)把不可能出现的结果称为不可能事件，用φ表示。P45①事件的包含与相等。若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件A，或称事件A包含于事件B，即事件A是事件B的子集。若事件A包含事件B，事件B也包含事件A，则称事件A与B相等。②事件的并（也称事件的和）。若事件A与事件B至少有一个发生，则记为A∪B（或A+B），并且称为事件A与B的并（和）。（2）事件的关系与运算P45③事件的交（也称事件的积）。若事件A与事件B同时发生，则记为A∩B（或AB），并且称为事件A与B的交（积）。④事件的差。若事件A发生而事件B不发生，则记为A-B，并且称为事件A与B的差。⑤互不相容事件（也称互斥事件）。若事件A与B不可能同时发生，也就是说，AB是不可能事件，即AB=φ，则称事件A与B是互不相容事件，或者称A与B是互斥事件。P45⑥对立事件。若事件A与事件满足:A=φ和A∪=Ω，则称是A的对立事件，或者称A是的对立事件。⑦完备事件组。设A1，A2，…，An是有限或可数个事件，若其满足：AiAj=φi≠j，i,j=1,2,…，nA1∪A2∪…∪An=Ω。则称由A1，A2，…，An所组成的事件组为一个完备事件组。AAAAP46硬币出现正反面的概率分别是多大？2.1.2随机事件的概率P46（1）概率的定义定义：随机事件A发生的可能性大小的度量（数值），称为事件A发生的概率。记作P(A)。2.1.2随机事件的概率P46①0≤P(A)≤1②P(Ω)=1P(φ)=0③若A与B互不相容（也称互斥），则有：P(A∪B)=P(A)+P(B)④若A与是对立事件，则有P(A)+P()=1或P(A)=1-P()⑤若A与B是任意两事件，则有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)（2）概率的性质AAP47若一个随机试验的样本空间是由有限个样本点组成，且每个样本点在实验中是等可能地出现，那么，事件A发生的概率就可用下列公式来计算：P(A)==（2.1）2.1.3古典概率P47【例2.1】一个袋子中有3只白球，2只黑球，现从袋中任取2只球，求取得2只球都是白球的概率。解：设A={取得2只球都是白球}则从5只球中任取2只，共有种取法，即样本空间中的全部样本点数为n==10A包含的样本点数为m==3故P(A)===P47【例2.2】10件产品中有3件是次品，从中每次取一件不放回取两次，求：①取得的两件中恰有一件是次品的概率；②取得的两件中至少有一件是次品的概率。解：每次取一件不放回地取两次，可视为一次取两件，则基本事件总数（即样本空间中全部样本点数）为n==45设A={取得的两件中恰有一件是次品}B={取得的两件中至少有一件是次品}①A所包含的基本事件数（即A所包含的样本点数）为m==21于是P(A)===P47②解法一：设C={取得的两件都是次品}，则C所包含的基本事件数为=3。由B=A∪C且AC=φ，于是P(B)=P(A∪C)=P(A)+P(C)=+=P48（1）条件概率的定义在随机试验中，有时除了需要知道事件B发生的概率P(B)外，还需要知道在事件A已经发生的条件下事件B的概率，我们把这个概率记作P(B∣A)。2.1.4条件概率与事件的独立性P49【例2.4】一盒中有10只晶体管，其中6只正品，4只次品，从盒中每次取1只，不放回地取两次，发现第1只是正品，求第2只也是正品的概率。解：设A={第1只是正品}；B={第2只是正品}当事件A发生（即已知取出的低1只晶体管是正品）后，盒中还有9只晶体管，其中5只是正品，在此条件下再取1只正品的概率为，即P(B∣A)=定义：设A、B是两个随机事件，且P(A)0，则称P(B∣A)=（2.2）为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。P49①利用条件概率的定义公式（2.2）式计算P(B∣A)②采用缩减样本空间的方法，即根据事件已经发生的信息缩减样本空间，再在此基础上计算B的概率。如例2.4就采用这种方法。现利用例2.4说明上述第一种方法的应用。同样设A={第1只是正品}；B={第2只是正品}则有：P(A)=，P(AB)==，于是P(B∣A)===（2）条件概率的计算方法P49（3）乘法公式由（2.2）式得：P(AB)=P(A)P(B∣A)（P(A)0）此式称为概率的乘法公式，简称乘法公式。乘法公式可推广到有限多个事件的情形。例如，对于A、B、C三事件，若P(AB)0，则有：P(ABC)=P((AB)C)=P(AB)P(C∣AB)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)P50【例2.5】某公司的产品合格率为0.98，而在合格品中，一等品为0.9。求该厂生产的产品为一等品的概率。解：设A={该公司生产的产品是合格品}B={该公司生产的产品是一等品}因为一等品必须同时是合格品，所以P(AB)就是该公司生产的产品为一等品的概率，由题意知：P(A)=0.98P(B∣A)=0.9故P(AB)=P(A)P(B∣A)=0.98×0.9=0.882P50若设随机试验E的样本空间为Ω，B1，B2，…，Bn是一个完备事件组，且P(Bi)0,（i=1,2,…，n），则对E的任一事件A，都有:P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)+……+P(Bn)（2.3）公式（2.3）称为全概率公式。(4)全概率公式和贝叶斯公式P51niiinBAPBPBAP1)/()()/(（2.4）公式（2.4）称为逆概率公式，或称为贝叶斯公式。(4)全概率公式和贝叶斯公式P52njjjiiiiBAPBPBAPBPAPABPABP1)/()()/()()()()/(【例2.7】设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%、35%、20%，各厂的产品的次品率分别为4%、2%、5%，现从中任取一件。①求取到的是次品的概率；②经检验发现取到的产品是次品，求该产品是甲厂生产的概率。P52①若事件A和B满足等式P(AB)=P(A)P(B)或者P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B是相互独立的。②P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)则称事件A1，A2，…，An相互独立（5）事件的独立性P52【例2.8】一批产品共100件，假定其中有5件次品，现采用放回抽样（每次抽查的产品仍放回这批产品中）进行检查，每次从这批产品中随机抽取一件。若发现次品，则拒绝接受这批产品；若未发现次品，则再检查一次，如此继续进行，若检查5件产品都不是次品，则停止检查并接受这批产品，求这批产品被接受的概率。解：设A={这批产品被接受}；Ai（i=1，2，……，5）表示第一、二、……、五次抽样未发现次品。由于抽样是放回的，因此每次抽样都互不影响，也就是说，A1，A2，…，A5之间是相互独立的，于是有：P(A)=P(A1A2A3A4A5)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)≈0.774P532.2随机变量及其分布2.2.1随机变量的概念定义：设随机试验E的样本空间为Ω={e}。若对于每一个eεΩ，都对应唯一实数X(e)，则称变量X(e)为随机变量，记作X。以后用字母X，Y，…表示随机变量.由于随机事件可用随机变量来表示，因此对随机事件的研究就转化为对随机变量的研究，这样有利于用数学分析的方法来研究随机现象的规律性。P54由随机变量的定义可知随机变量有以下特点：①随机性。②统计规律性。③它是定义在样本空间Ω上的实单值实数。P541.概念：所谓随机变量的概率分布，就是随机变量的取值规律，通常用分布律（或分布密度）、分布函数来描述随机变量的分布。2.2.2随机变量的概率分布P54（1）离散型随机变量的概率分布随机变量的全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量叫做离散型随机变量。P54【例2.9】随机变量X表示掷一颗骰子出现的点数，求X的分布律。解：X所有可能的取值为1,2,3,4,5,6，且相应的概率为：P{X=k}=（k=1,2,3,4,5,6）其分布律的表格如下：X123456PkP55常用的离散型随机变量的概率分布。①两点分布。两点分布的应用条件是：若互相独立的重复试验只有“成功”和“失败”两种结果，这种实验称为贝努里试验。这类实验具有以下特征。第一，实验只有两种对立的结果，假定一种是“成功”，另一种就是“失败”。第二，若成功事件的概率是p，那么失败事件的概率为1-p或者q。即p+q=1.第三，实验为独立试验。P55两点分布的分布律为：XabPk1-pp0p1，（a≠b），特别是a=0时，两点分布称为（0-1）分布，其分布律为：X01Pk1-ppP56②超几何分布超几何分布的应用条件是：第一，从一个含有N个个体的总体中以不重复方式随机抽取n个个体作为样本，各次抽样（试验）并非独立；第二，总体中的全部个体分为两类，假设“成功”与“失败”，其中“成功”累的个体数目为D个，“失败”类的个体数目为N-D个；第三，样本中从“成功”类D中抽取个体数目为k个，从“失败”类N-D中抽取个体数目为n-k个。P56③二项分布二项分布的应用条件是：在n次贝努里试验的基础上，若要确定其恰好有k次成功的概率，其中随机变量X表示实验次数。P(X=k)=k=0,1,2,…,n此外，在二项分布中，若n=1时，则二项分布就变为两点分布，因此，两点分布可以看作是二项分布在n=1时的特例。knkknp)(1pCP56④泊松（poisson）分布1）服从泊松分布的随机变量对于描述在一个特定时间或空间范围内某一事件发生的次数通常很有用。2）在通常情况下，如果满足下面两个特点，那么，某一事件发生的次数就是一个可以用泊松分布来描述的随机变量。其一，任何两个相等的间隔期间内某一事件发生次数的概率相等；其二，在某一间隔内某一事件的发生与否和其他任何一个间隔期内该事件的发生与否相互独立。P57（2）连续型随机变量的概率分布定义：对于随机变量X的分布函数F(x)，如果存在非负函数f(x)，使对任意实数x有：则称x为连续型随机变量，f(x)为x的概率分布密度，简称分布密度或概率密度，分布密度的图形叫做分布密度曲线。dxxfFx)()x(P57分布密度f(x)性质：①f(x)≥0.②P∣ax≤b∣=F(b)-F(a)=这一性质的几何意义是：随机变量X落在区间(a,b]上的概率等于由直线x=a,x=b,x轴及密度曲线f(x)围成的图形的面积。③=1④若f(x)在x处连续，则F’(x)=f(x)需要特别指出的是，若X是连续型随机变量，则对于任意实数a，有P{X=a}=0P58bdxxfa)(①均匀分布。若连续型随机变量X的概率密度为：则称随机变量X在[a,b]上服从均匀分布。其他，，0)(1bxaxfabP58②正态分布。若随机变量X的概率密度为：其中，σ0为常数，则称X服从参数为μ、σ的正态分布，记作X-N(μ,σ2)正态分布的标准化：X-N(μ,σ2)，则-N(0,1)0)(222)(21，xexXZP58