第二章误差的基本性质与处理.

11第二章误差的基本性质与处理章节内容§2.1随机误差§2.2系统误差§2.3粗大误差§2.4测量结果数据处理实例122§2.1随机误差§2.1.1随机误差产生的原因第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差随机误差测量装置环境方面人员方面构成零件配合不稳定、摩擦、变形等温度、湿度、气压、电磁场变化等读数、瞄准不稳定等33第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.2正态分布随机误差具有不可预知性，但是有统计规律。大部分随机误差有如下四个特性：对称性：绝对值相等的正、负误差出现的次数相等；单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多；有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定的界限；抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。44第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差多数随机误差服从正态分布设被测量值的真值为，一系列测得值为，则测量列的随机误差可表示为：oLilioiiLlni,,2,1)2/(2221)(efdeF)2(2221)(0)(dfEdf)(22正态分布的分布密度(概率密度)与分布函数为式中：σ—标准差（或均方根误差）)(f)(F它的数学期望它的方差为5平均误差θ(测量列全部随机误差绝对值的算术平均值)为5第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差或然误差ρ54)(||df21)(df326745.0σ：对应曲线拐点θ：对应单边重心ρ：对应面积一半nnii1或在一组测定中，误差绝对值大于ρ的测定值与误差绝对值小于ρ的测定值各占总测定值的一半。以解得正态分布曲线f(δ)66第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.3算术平均值对某量进行一系列等精度测量时，由于存在随机误差，因此其获得的测量值不完全相同，此时应以算术平均值作为最后的测量结果。算术平均值的意义设为n次测量所得的值，则算术平均值为:nlll,,,21niinlnnlllx1211oiiLlnioiniinLl11nnlLniiniio11随机误差具有抵偿性，该项趋于0。01Lnlxnii77第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差结论当测量次数无限增大时，算术平均值接近于真值。排除或减少了随机误差的影响。但由于实际上都是有限次测量，因此，我们只能把算术平均值近似地作为被测量的真值。一般情况下，被测量的真值为未知，不可用，这时可用算术平均值代替真值进行计算oiiLl此时的随机误差称为残余误差，简称残差。xliii8nillloii,,2,10010111)(xlnllnnllnllnlxniinioiniionii8第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差任选一个接近所有测得值的数作为参考值，计算每个测得值与的差值：上式更容易计算算术平均值。olilol计算算术平均值更简便的方法nilllioi,,2,199第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差算术平均值的计算校核规则1：残差代数和校核01niivxnxvniinii11为非凑整的准确数时为凑整的非准确数时xx规则２：残差代数和绝对值校核n为偶数时A为实际求得的算术平均值末位数的一个单位。Anvnii21Anvnii)5.02(1xn为奇数时xxii10mmmmmmlxii067.20000673.20001174.220001111110第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差例题2.1测量某直径11次，得到结果如下表所示，求算术平均值并进行校核。序号(mm)(mm)12345678910112000.072000.052000.092000.062000.082000.072000.062000.052000.082000.062000.07+0.003-0.017+0.023-0.007+0.013+0.003-0.007-0.017+0.013-0.007+0.00374.22000111iil003.0111iiv解：计算算术平均值比被除数多保留一位有效数字，保留8位。舍入后，保留7为与被除数一致1111第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差校核规则1：有舍入误差mmmmmmxlii003.0737.2200074.2200011111mmAnmmvii00505020030111...规则2：n为奇数;003.0111mmviixlviiii11111111计算正确计算正确xxxnxvniinii11Anvnii)5.02(1mmx067.2000A是算术平均值最末一个数字的一个单位A=0.001σ值愈小，高而陡，误差分布范围小，测量精度高；σ值愈大，低而平坦，误差分布范围大，测量精度低。12)(f)(f12第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.4测量的标准差标准差σ反映了测量值或随机误差的散布程度，因此σ值可作为随机误差的评定尺度。注意：在一定条件下，任一单次测得值的随机误差δ，一般都不等于σ，但却认为这一系列测量列中所有测得值都属于同样一个标准差σ的概率分布。1313第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差σ的计算δi未知时，用残余误差按下式计算求得标准差的估计值等精度(测量仪器、人员、环境、方法不变)测量时，单次测量的标准差按下式计算贝塞尔（Bessel）公式（证明参考教材）1.测量列中单次测量标准差σ1414第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差σ的其他计算方法别捷尔斯法(Peters公式))(.12531nnvi1515第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差极差法若等精度多次测量测得值服从正态分布，则minmaxxxn极差ωnσ的计算nxxx,,,21n234567891011121314151617181920dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.173.263.343.413.473.533.593.643.693.74nnd极差法系数表1616第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差最大误差法当各个独立测量值服从正态分布时已知真值时：未知真值时：max||1inKmax||1invKn1234567891011121314151.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829300.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n2345678910152025301.771.020.830.740.680.640.610.590.570.510.480.460.44nK1nK1nK11717第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差标准差算法举例例题2.2用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为mm):75.01,75.04,75.07,75.00,75.03,75.09,75.06,75.02,75.05,75.08求其标准偏差。解：相关数据计算如表)(mmli)(mmvimmx045.750101iiv1234567891075.0175.0475.0775.0075.0375.0975.0675.0275.0575.08－0.035－0.005＋0.025－0.045－0.015+0.045+0.015-0.025+0.005+0.0350.0012250.0000250.0006250.0020250.0002250.0020250.0002250.0006250.0000250.001225210120825.0mmvii)(2mmvi1818第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差Bessel公式将相关数据代入：n=10210120825.0mmviiPeters公式)1(253.1nnvi将相关数据代入：n=10250.0iv0330.0)1(253.1nnvi1919第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差极差法nnd已知：n=10，mmlln09.000.7509.75minmax查表：dn=3.08mmdnn0292.0最大误差法max||1inKmax||1invK因未知其真值和约定真值，所以采用n=10，查表得代入得max||1invK57.01nK045.0||maxiv0256.0||1maxinvK已知真值时未知真值时2020第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差贝塞尔公式：最常用，适用于测量次数较多的情况，计算精度较高，但较麻烦。对重要的测量或多种结果矛盾时，以贝塞尔公式为准。四种计算方法的优缺点别捷尔斯公式：计算速度较快，但计算精度较低，计算误差为贝氏公式的1.07倍。极差法：简单、迅速，当n10时可用来计算σ，此时计算精度高于贝氏公式。最大误差法：更为简捷，n很小时，有一定精度。尤其适用于一次实验。2121第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差2.测量列算术平均值的标准差在多次测量的测量列中，是以算术平均值作为测量结果，因此必须研究算术平均值不可靠性的评定标准。nlllxn21)()()(1)(212nlDlDlDnxD)()()()(21lDlDlDlDn算术平均值取方差等精度测量σ相等，σ2方差相等221)(1)(1)(nlDnlnDnxDnx22nx（方差的定义）dxxfx)(22221)(nxDxxxx2222第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差nxn愈大，越小，说明的精度越高；xx为提高测量精度，可以增大n；n的选取要适当，一般n在10以内；大于10时，下降缓慢，同时难以保证测量条件的恒定，从而引入新的误差。n与标准差σ的关系曲线若测量误差落在范围内的概率为P，超出该范围的概率为1-P，则为置信概率P的极限误差。2323第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差§2.1.4测量的极限误差(容许误差)极限误差指在一定的观测条件下，测量误差不应超出的范围的极限值。单次测量的极限误差以正态分布为例，随机误差落在(-δ,+δ)之间的概率：dedfp22221)(],[limlimxxxlim2424第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差dedfp22221)(将上式进行变量置换，设经变换，上式成为：dtdt,dtepttt2221超出的概率为dtepttt022212)(确定极限误差的步骤：)(211tp置信概率t值可以根据指定的置信概率p(2Φ(t)),可查正态分布积分表获得。因此极限误差由置信概率Ｐt)(ttlimP/2=查表得tt:置信系数偶函数，对称区间积分)(tdtett222022tlim2525第二章误差的基本性质与处理§2.1随机误差下表是典型的几个t值及对应的随机误差不超出相应区间的概率p=2Φ(t)和超出相应区间的概率α=1-2Φ(t)由于在一般测量中，测量次数很少超过几十次，