第二节映射与函数

经济数学---微积分教案山东女子学院1第二节映射与函数教学目的：了解映射的概念、理解函数的概念、掌握函数的基本性质.教学重点：函数的概念与函数的基本性质.教学难点：映射的概念.教学内容：一、映射概念1.映射定义设XY、是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作f:XY,其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作()fx,即()yfx,而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作fD,即fDX;X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为fR,或()fX,即 {|}fRfXfxxX.评注:(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域fDX;集合Y,即值域的范围:fRY;对应法则f,使对每个,xX有唯一确定的()yfx与之对应.(2)对每个,xX,元素x的像y是唯一的;而对每个fyR,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域fR是Y的一个子集,即fRY,不一定fRY.例1：设:fRR,对每个xR,2 fxx.显然,f是一个映射,f的定义域fDR,值域{|0}fRyy,它是R的一个真子集.对于fR中的元素y,除0y外,它的原像不是唯一的.如4y的原像就有2x和经济数学---微积分教案山东女子学院22x两个.例2：设22{,|1}Xxyxy, {,0|1}Yxx, :fXY,对每个,xyX,有唯一确定的,0xY与之对应.显然f是一个映射,f的定义域fDX,值域fRY.在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[1,1]上.例3：f:]2,2[[1,1],对每个x]2,2[,sinfxx.f是一个映射,定义域fD]2,2[,值域fR[1,1].2.满射、单射和双射定义：设f是从集合X到集合Y的映射,若fRY,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素12xx,它们的像12fxfx,则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射).上述三例各是什么映射？二、逆映射与复合映射设f是X到Y的单射,则由定义,对每个fyR,有唯一的xX,适合fxy,于是,我们可定义一个从fR到X的新映射g,即:fgRX,对每个fyR，规定gyx,这x满足fxy.这个映射g称为f的逆映射,记作1f,其定义域1ffDR,值域1fRX.按上述定义,只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射？设有两个映射1 :gXY，2 :fYZ,其中12YY.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映射成fgxZ.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg,即fg:XZ,经济数学---微积分教案山东女子学院3(fg)xfgx,xX.评注：应注意的问题:映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域gR必须包含在f的定义域内,gfRD.否则,不能构成复合映射.由此可以知道,映射g和f的复合是有顺序的,fg有意义并不表示ogf也有意义.即使fg与ogf都有意义,复映射fg与ogf也未必相同.例4：设有映射g：[1,1],R对每个xR, singxx,映射f:[1,1][0,1],对每个u[1,1],21)(uuf.则映射g和f构成复映射fg：R[0,1],对每个xR,有|cos|sin1)(sin)]([))((2xxxfxgfxgf.三、函数的概念定义设数集,DR则称映射:fDR为定义在D上的函数,通常简记为 yfx,,xD其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作fD,即fDD.评注：⑴记号f和fx的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“,fxxD”或“,yfxxD”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.⑵函数符号:函数yfx中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“”F,“”等.此时函数就记作()yx,yFx.⑶函数的两要素:函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域fD及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.⑷函数的定义域:函数的定义域通常按以下两种情形来确定:一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.例如,在自由落体运动中,设物体下落的时间为t,下落的距离为s,开始下落的时刻0,t落地的时刻tT,则s与t之间的函数关系是经济数学---微积分教案山东女子学院4221gts, 0,tT.这个函数的定义域就是区间0,T;另一种是对抽象地用算式表达的函数,通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域.在这种约定之下,一般的用算式表达的函数可用“yfx”表达,而不必再表出Df.例如,函数21yx的定义域是闭区间[1,1],函数211yx的定义域是开区间(1,1).求定义域举例:例5：求函数214yxx的定义域.要使函数有意义,必须0x,且240x.解不等式得2.x所以函数的定义域为D{x||x|2},或D(,2][2,]).⑸单值函数与多值函数:在函数的定义中，对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程222xyr给出.显然,对每个[,]xrr，由方程222xyr,可确定出对应的y值,当xr或xr时,对应y0一个值;当x取(,)rr内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程222xyr给出的对应法则中,附加0y的条件,即以“222xyr且0y”作为对应法则,就可得到一个单值分支221()yyxrx;附加“0y”的条件,即以“222xyr且0y”作为对应法则,就可得到另一个单值分支222()yyxrx.⑹表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法),这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集{,|,}PxyyfxxD称为函数yfx,xD的图形.图中的fR表示函数yfx的值域.经济数学---微积分教案山东女子学院5函数的例子:例6：函数2.y其定义域为(,)D,值域为2fR图形为一条平行于x轴的直线例7：函数0||0xxyxxx.称为绝对值函数.其定义域为(,)D,值域为[0,).fR例8：函数10sgn0010xyxxx.:称为符号函数.其定义域为(,)D值域为{1,0,1}fR.例9：设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作x.函数 yx称为取整函数.其定义域为(,)D,值域为fRZ.5[]07,[2]1, []3,[1]1,[3.5]4.⑺分段函数:在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.例10：函数20111xxyxx.这是一个分段函数,其定义域为0,1(0,)[0,).D当01x时,2yx;当1x时, 1yx.例如11()2222f;(1)212f;3134.f四、函数的基本性态1.函数的奇偶性设函数fx的定义域D关于原点对称(即若xD,则xD).如果对于任一xD,有()fxfx,则称fx为偶函数.如果对于任一xD,有()fxfx,则称fx为奇函数.偶函数的图形关于y轴对称,奇函数的图形关于原点对称,奇偶函数举例:2,cosyxyx都是偶函数，3,sinyxyx都是奇函数, sincosyxx是非奇非经济数学---微积分教案山东女子学院6偶函数.2.函数的周期性设函数fx的定义域为D.如果存在一个正数l,使得对于任一xD有()xlD,且()fxlfx则称fx为周期函数,l称为fx的周期.周期函数的图形特点:在函数的定义域内,每个长度为l的区间上,函数的图形有相同的形状.3.函数的单调性设函数yfx的定义域为,D区间.ID如果对于区间I上任意两点1x及2,x当12xx时,恒有12 fxfx,则称函数fx在区间I上是单调增加的.如果对于区间I上任意两点1x及2,x当12xx时,恒有12 fxfx,则称函数fx在区间I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.函数单调性举例:函数2yx在区间(,0]上是单调增加的,在区间[0,)上是单调减少的,在,（）上不是单调的.4.函数的有界性设函数fx的定义域为D,数集XD.如果存在数1K,使对任一,xX有1fxK,则称函数fx在X上有上界,而称1K为函数fx在X上的一个上界.图形特点是yfx的图形在直线1yK的下方.如果存在数2,K使对任一,xX有2fxK,则称函数fx在X上有下界,而称2K为函数fx在X上的一个下界.图形特点是,函数yfx的图形在直线2yK的上方.如果存在正数M,使对任一,xX,有fxM,则称函数fx在X上有界;经济数学---微积分教案山东女子学院7如果这样的M不存在,则称函数fx在X上无界.图形特点是,函数yfx的图形在直线yM和yM的之间.函数fx无界,就是说对任何M,总存在1,xX使fxM.例如(1)sinfxx在(,)上是有界的: sin1x.(2)函数1()fxx在开区间0,1内是无上界的.或者说它在0,1内有下界,无上界.这是因为,对于任一1,M总有1x：1101xM,使111()fxMx,所以函数无上界.函数1()fxx在1,2内是有界的.因此我们说一个函数是有界的或无界的，应同时指出其自变量的相应范围。