正四面体性质及其应用

正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a，则（1）全面积S全=3a2；（2）高h=63a；（3）体积V=212a3；（4）对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d=22a；（5）相邻两面所成的二面角α=arccos13；（6）棱与其相交的面所成的角β=arctan2；（7）正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径r＝612a，外接球半径R＝64a，r︰R=1︰3；（8）正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例1：已知半径为1的球面上有A、B、C三个点，且它们之间的球面距离都为π3，则球心O到平面ABC的距离为（）A32B63C12D217解析：如右图所示，OA=OB=OC=1又3⌒⌒⌒CABCAB，球的半径r=1∴∠AOB=∠BOC=∠COA=π3，则AB=BC=CA=1所以O-ABC为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O到平面ABC的距离即其高为63，答案B。例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a的正四面体ABCD有内切球O，经过该棱锥A-BCD的中截面为M，则O到平面M的距离为（）Aa4B66aC612aD28a解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r=612a，中截面到底面的距离为高的一半66a，则O到平面M的距离为66a－612a=612a，因此选C。例3：（06年陕西卷）将半径为R的四个球两两相切地放在桌面上，则上面一个球的球心到桌面的距离为。解析：注意分析四个球的球心的位置关系。设四个球心分别为DCABCBOACABDA、B、C、D，因为四个球两两相切，则ABCD是棱长为2R的正四面体，A到面BCD的距离为263R，则上面一个球的球心A到桌面的距离为R+263R=（1+263）R。例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60○，E为AC的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）A4327πB62πC68πD624π解析：三棱锥P-DCE实质上是棱长为1的正四面体，则其外接球的体积为V=43πR3=43π(64)3=68π。例5：（06年湖南卷）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一球面上，若过该球球心的一个截面如图1，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A22B32C2D3解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上，且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由正四面体的对称性可知M为AB对棱CD的中点，M到AB的距离即为正四面体对棱公垂线的长22a，所以S△ABC=12×2×2×2＝2。例6：(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A、B、C、D是正四面体的顶点，则A与B两点间的球面距离为（）A)33arccos(B)36arccos(C)31arccos(D)41arccos(解析：由题意可知，此球O为正四面体的外接球，且外接球的半径为1，则正四面体的棱长为263，根据余弦定理得cos∠AOB=1+1－(263)22×1×1=－13,所以∠AOB=arccos(－13)，因此A与B两点间的球面距离为l=αR=arccos(－13)×1=arccos(－13)。DCAEBBAM