第61期权定价模型与思考

期权定价模型与思考秦学志期权定价（1）222212()|()fftTfffrSSrftSSSKcallfKSput（）（）做变换ln,xSTt222201()22(,0)()()|()()fxxfffrrfxxxTeKcallfKeput化成了“利率”形式：以“当前价格”为衡的作法再令经推导，取由热传导方程得到解。xfue222211(),222ffrrr2220102()()|()()xxxxuuxeeKcalluKeeputxfue贴现形式：注重实物价值比较（2）考虑红利率的情况22221(()())2()|()fftTfffrtqtSSrftSSSKcallfKSput（）（）令经计算，取()(),ttufeySe()(),(),()()0ffddrtqtrtTTdtdt2222102()()|()()tTuuytyyKcalluKyput仍是“贴现”形式再令20()twdw222ˆ102()()|()()TuuyyyKcalluKyput20ˆ()TTwdw（3）两值期权(binary)其中做变换22221(()())2()CONC|*()AONCfftTfffrtqtSSrftSSHSKfSHSK（）（）1,0()0,0xHxxln,SxTtK22221()22(,0)()(1)(1)()ffxfufrqrfxxSfxHSKHHeHxK比较P29以“执行价格”为衡的作法（4）多维Black-Scholes公式令（可惜，姜礼尚在他的工作中将）2nijij11ij1(()())2nfiifiijifffrtqtSaSSrftSSS、1()mijikkjialniixS2nij11ij1(()())22niififiijiafffrtqtarftxxx、2ijijfffxxxx（5）两个资产的利差期权令从而转化为标准的B-S模型。222221111222211222211221212121[2]()()2(,,)max(,0)fffffffffaSaaSrqSrqSrftSSSSSSfSSTSS11222,(,)(,,)/SutfSStSS（6）一篮子期权到期日收益不易解。若为其中1)niiiSK（)iniiSK=1（10,1niii则令可得从而转化为标准的B-S模型。1ln,niiiiixSx222211ˆˆˆ()22fffffrqrft1)(exp{})inniiiiiSKxK=1（22,11ˆˆˆ,()22nniiijijiiijiaaqq以组合的收益率作为自变量（7）关卡/障碍期权（barrier)在区域D=求解{,0}BSStT22221(()())2(,)()(,)0ffBfffrtqtSSrftSSfSTSKfSt做变换ln,,BBBBSfKxuKSSS将边界SB作为“衡”22221()22(0,0)(,)()(0)(0,)0(0)ffxBuuurqrutxxxtTuxTeKxuttT再变换其中解此Cauchy问题的Poisson解。exp(())uwxTt折现2222211(),()222fffrqrrq222102(0,0)(,)()(0)(0,)0(0)xxBwwtxxtTwxTeeKxwttT（8）期权公式中的偏导关系和无风险补偿1）标准B-S模型：其中frSfSSfSrtfff222221)()()(2)(1dXNedNtSctTrftTtTrXtSdf))(()/)(log(2211tTdd12在求时，一般有结论但实际上可以证明竟然是按照自然或上帝指定的权重对未来可能的两个状态的价值（执行与否）加权时，边际相等。cS1()cNdS112()[()()]/frTcNdSfdXefdSTS12()()frTSfdXefd12(),()fdfd2）含红利率B-S模型：其中22221-)2fffffrqSSrftSS（()()12()()()frTtqTtceStNdeXNd2121log(()/)()()fStXrqTtdTttTdd12在求时，一般有结论但实际上可以证明也是对未来可能的两个状态的价值（执行与否）加权时，边际相等。cS()1()qTtceNdS()()112()[()()]/frTqTtqTtceNdSefdXefdSTS()12()()frTqTtSefdXefd思考：1）这些背后隐含的是什么？假设存在一个超然事外的上帝，他(她)的效用是V(z)=V(X1+X2+…+Xn),即上帝按照所有参与者的产出之和作为决策目标，则自然的上帝真是这样决策的吗？(1,2,...,)iVVinzx2）在定价中有一种表述没有引起足够的重视：组合中资产的公平价格：在组合中增加或减少这种资产对持有者而言是一样的。对于一个封闭的系统，增加（或减少）某个资产，对应的就是减少（或增加）其它资产，以特殊的两个资产为例，相当于它们的边际相同。其它情况可以类推。思考：为什么？观察处于平衡的物体或状态，就会发现其中的某些道理，平衡不是绝对的静止，而是物体与外部的交换处于平衡--相互抵消，这个处处或时时“进出”一致，就是“进和出”的边际相等。3）期权方程的内在蕴涵受制于其他资产的衍生资产，存在关联补偿部分，但不论怎么补偿，合在一起等于无风险补偿的价值，怎么理解？但这种情况似乎解释不通。又是一个边际相等的情况。222212fffffrSSrftSS22221-)2fffffrqSSrftSS（时间补偿关联补偿风险补偿无风险补偿（9）期权平价关系的”边际”等价性其中q为红利率。1）表示的是以人民币为法定货币下，这个看涨期权和以人民币表示的执行价格之间的关系；2）表示的是以“证券为法定货币”下，这个看跌期权（实际为新货币下的看涨）和以证券表示的“执行”价格（新币下）间的关系；上帝又安排了在这样的交易中，边际相等（广义视角)，或者双方地位相同。()()frTtqTtcXepSe()frTtcXe()qTtpSe热传导模型的一个推导假设t时价格离散化为相应的概率为假定经过，的概率变为,若假设，则,...,,,,...,2112nnnnnSSSSS,...,,,,...,2112nnnnnppppptnS'np1nnSS)(*5.011'nnnppp22211')(),(2122SStSpppppppnnnnnnttppn022tpSpDe的桥梁作用（1）Fourier、Laplace、矩母函数中的e,将离散或复杂问题转化表达成简单或具有整体性质的表达（如，多项式）。（2）常微分方程的一种解法中，将待求的解设为e的指数函数形式，结果化成了多项式（特征方程）。（3）在金融中，求现值或未来值，用e的函数形式将它们相连。通过e将绝对与相对比值相连。（4）期权定价公式，通过e的函数变换化成最简单的传热方程，从而得到解。（5）exp(A+B),在矩阵A、B可交换时，其结果较简单，其中最简单的是A、B为对角的情况，这或许也是主成分分析的一个原因。22202uautx思考:（1）近世代数或泛函中反复讲“同构”（一一对应），意味着变换前后的对象实际上是同一”物“。从这个角度看，表面复杂的表达，实际上可能存在简单的”影子“或者变换后的表达，而这个表达或许是对象的本质。（2）令x=lnS(或者S=exp(x))相当于将S化成了”利率“层面，或者差分层面，这个过程意味着我们正在用更平稳的过程来建模（类比Granger检验），这是众多新型期权变量变换背后的道理。