函数中的任意性与存在性问题

一轮复习目标：全面、系统、基础二轮复习目标：综合、灵活、能力1、以横向为主建构知识网络，使知识系统化条理化。对重点、难点、弱点、热点内容做专题突破。在巩固已学知识的基础上特别注意对知识综合能力的运用和提升。2、查缺补漏。对高考各题型强化训练。总结解题方法技巧。规范解题，提高解题准度与速度。要有每分必争的精神。函数中的任意性和存在性问题坚持的每一天都是奇迹的开始！！！井冈山中学贺平桂2014.4.10考题展望最近几年，高考和模拟试题中经常出现一类函数存在性和任意性问题，它们在压轴题、把关题位置出现，是考试的热点之一。下面结合实例来辨析和整理这几种问题的处理方法。一、题目展示解题四阶段一、对问题的题解，即“审题”阶段；二、产生一个解决问题的假设，即明确思路阶段。三、将假设付诸实施，即动手解题阶段；四、对解题思路、方法和结果进行检验，即反思阶段。其中思维最紧张、最活跃的是第二阶段。试题特点（1）两个不同函数（2）两个不同变量（3）含有“任意”、“存在”、“成立”等字眼。（4）函数值不等或相等关系。如f(x1)≥g(x2)、)(、)(xgxf2,1xx)()(12xfxg二、解题策略对于这类问题，关键是题中条件“任意”、“存在”、“成立”问题的等价转化：（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较。（2）把相等关系转化为函数值域之间的关系。三、变式研究、归纳小结高考题再现（2010山东理21）:已知函数f(x)＝lnx－14x＋34x－1，g(x)＝x2－2bx＋4，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b的取值范围是．（1）、不要去想这道题难不难，我能不能做完整，只要想我会做多少。也可以不理会题目有没有读懂，只要做我能读懂的部分。（2）、重视审题。拿到压轴题后：解题分析“对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)”等价于“任意f(x1)≥某一个)(2xg”等价于“f(x)在(0，2)上的最小值≥g(x)在[1，2]上的最小值”于是解题思路就清楚了第一步分别求出f(x)和g(x)的最小值。第二步得不等式f(x)min≥g(x)min第三步解不等式得b范围。高考题再现（2010山东理21）:已知函数f(x)＝lnx－14x＋34x－1，g(x)＝x2－2bx＋4，若对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)，则实数b的取值范围是．[178，＋∞)【解析】f′(x)＝－（x－1）（x－3）4x2，令f′(x)＝0得x1＝1，x2＝3∉(0，2)．当x∈(0，1)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当x∈(1，2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为f(1)＝－12.由于“对任意x1∈(0，2)，存在x2∈[1，2]，使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值－12”(*)．又g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1，2]，所以①当b1时，因为g(x)min＝g(1)＝5－2b0，此时与(*)矛盾；②当b∈[1，2]时，因为g(x)min＝g(b)＝4－b2≥0，此时与(*)矛盾；③当b∈(2，＋∞)时，因为g(x)min＝g(2)＝8－4b.解不等式8－4b≤－12，可得b≥178.综上，b的取值范围是[178，＋∞)．练习：已知函数]1,0[,2)(2xkxkxf，函数]0,1[,5)1(23)(22xxkkxxg，)(xf的值域是)(xg的值域的子集即可.问：对任意]1,0[1x，存在]0,1[2x，使得)()(12xfxg成立，求k的取值范围.问：对任意]1,0[1x，存在]0,1[2x，使得)()(12xfxg成立，求k的取值范围.变式1：存在]1,0[1x]0,1[2x，使得)()(12xfxg成立，求k的取值范围.变式2：存在]1,0[1x，]0,1[2x，使得)()(12xfxg成立，求k的取值范围.变式3：对任意]1,0[1x，存在]0,1[2x，使得)()(12xfxg成立，求k的取值范围.回顾解题策略对于这类问题，关键是题中条件“任意”、“存在”成立问题的等价转化：（1）把不等关系转化为函数最值大小的比较。（2）把相等关系转化为函数值域之间的关系。小结2.解题中要注意数学思想方法的应用:如转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.1.对函数中的存在性与任意性问题，可把相等关系问题转化为函数值域之间的关系问题，不等关系转化为函数的最值问题。作业：P170压轴大题突破练（四）4．已知向量m＝(ex，lnx＋k)，n＝(1，f(x))，m∥n(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴垂直，F(x)＝xexf′(x)．(1)求k的值及F(x)的单调区间；(2)已知函数g(x)＝－x2＋2ax(a为正实数)，若对于任意x2∈[0,1]，总存在x1∈(0，＋∞)，使得g(x2)F(x1)，求实数a的取值范围．认真思考后作答并自行对答案