斯托克斯公式(1)

第七节斯托克斯公式及其应用一、斯托克斯公式二、空间曲线积分与路径无关的条件第十一章三、环流量与旋度一、斯托克斯公式(stokes)1.定向曲面边界曲线的方向:,的正向为规定其边界曲线曲面是具有边界曲线的定向设.,,上法向量的指向相同的拇指的指向与竖起依边界的绕行方向时当右手除拇指外的四指即的法向量符合右手法则这个方向与定向曲面.的正向边界曲线曲面向的边界曲线称为定向按照这种方式规定了方;,时针方向的圆周曲线正向边界为逆取上侧.,时针方向的圆周曲线正向边界为顺取下侧;,时针方向的圆周曲线正向边界为顺取后侧.,时针方向的圆周曲线正向边界为逆取前侧2.则有上具有一阶连续偏导数连同边界在函数侧符合右手规则的正向与向曲面为边界的分片光滑的定以是闭曲线为分段光滑的空间有向设　定理,)(),,(),,,(),,,(.,,1zyxRzyxQzyxP.dddddddddzRyQxPyxyPxQxzxRzPzyzQyR斯托克斯公式斯托克斯(stokes)公式RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdsRQPzyxcoscoscos另一种形式}cos,cos,{cosn其中便于记忆形式表达了定向曲面上的第二类曲面积分与曲面的定向边界曲线上的第二类曲线积分之间的关系.是微积分基本公式在曲面积分情形下的推广;是格林公式的推广.则面取上侧位于若,,0),,(xOyzyxR.ddddyQxPyxyPxQxyzOn格林公式斯托克斯公式的实质斯托克斯公式格林公式特殊情形二、典型例题.,,12,ddd2222取逆时针方向轴正向看去从若的交线与柱面是平面其中曲线积分利用斯托克斯公式计算zyxzyzzyxxyI1:22yxDxy,,,22zRxQyP.2所围的部分的上侧被为zy例1解22ddddddzxyzyxyxxzzyIyxydd)21(xyDyxydd)21(10π20d)sin21(drr.πyxzyxxzzyzyxddddddzxy111o练习.利用斯托克斯公式计算积分其中为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.yxxzzydddddd利用轮换对称性yxDyxdd323yxD.,,]1,0[]1,0[]1,0[23,d)(d)(d)(222222取逆时针方向轴正向看去若从的表面所得的截痕截立方体是用平面其中计算zzyxzyxyxzxzyxyzOn例2),31,31,31(),1,1,1(nen222222ddddddyxxzzyzyxyxxzzyI.23:所围的部分上侧被的zyx解xyzOnSyxxzzyzyxd313131222222Szyxd)(34,23zyx上在xyzOnSd32xyDd332.29O1x1xyD5.05.0y5.0yx5.1yxxyDyxzzd13222)(6的面积xyDSzyxd)(34练习.为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算oz2yx解:设为平面z=y上被所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得SId0则其法线方向余弦coscoscoszyxzxyxy2*二、空间曲线积分与路径无关的条件zRyQxPudddd定理2.设G是空间一维单连通域,内在函数GRQP,,具有连续一阶偏导数,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有0dddzRyQxP(2)对G内任一分段光滑曲线,zRyQxPddd与路径无关(3)在G内存在某一函数u,使(4)在G内处处有zPxRyRzQxQyP,,zyxyxzxzyd)(d)(d)(与路径无关,zyxyxzxzyzyxuzyxd)(d)(d)(),,(),,()0,0,0(解:令yxRxzQzyP,,,1xQyP,1yRzQ1RPxz积分与路径无关,zyxxy)(yxyd0zyxzd)(0zxyzxyxzyO),,(zyx)0,,(yx)0,0,(x因此例4.验证曲线积分定理2并求函数*三、环流量与旋度斯托克斯公式zRyQxPddd设曲面的法向量为曲线的单位切向量为则斯托克斯公式可写为sRQPd)coscoscos()cos,cos,(cosn)cos,cos,(cos令,引进一个向量),,(RQPAArot记作向量rotA称为向量场A的RQPkjizyx称为向量场A定义:sAzRyQxPdddd沿有向闭曲线的环流量.sASnAddrot或sASAndd)(rot①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.AzxyOl设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,M则),,(zyxr角速度为,r),,0,0(点M的线速度为rvvrotzyxkji00)0,,(xy0xykjizyx)2,0,0(2(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:向量场A产生的旋度场穿过的通量注意与的方向形成右手系!sASAndd)(rot向量场A沿的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例4.求电场强度rrqE3zyxkjiErot的旋度.解:)0,0,0((除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.3rxq3ryq3rzqΓn内容小结1.斯托克斯公式zRyQxPdddRQPyxxzzyzyxddddddSRQPzyxdcoscoscos也可写成:SAsAnd)(d),,(RQPA其中AnA)(A的旋度AA在的切向量上投影在的法向量n上投影zRyQxPddd在内与路径无关在内处处有在内处处有),,(RQProtxQyP,yRzQ,zPxR2.空间曲线积分与路径无关的充要条件设P,Q,R在内具有一阶连续偏导数,则RQPkjizyx0zuyuxu,,3.场论中的三个度设,),,(zyxuu梯度:uradgu,,,zyxzRyQxPRQPkjizyxArotAAdivA散度:旋度:则,),,(RQPA思考与练习,222zyxr设则.)(;)(divrrradgrotradg提示:rradgrzryrx,,)(rxx2rrrxx,322rxr)(ryy322ryr)(rzz322rzr)0,0,0(r2)(rradgrot三式相加即得)(divrradgrzryrxzyxkji0作业P2452(1),(4);3(1)5(1);习题课斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法,在1845年他导出了著名的粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.三、场设f(x,y,z)及分别是定义在空间区域Ω上的数值函数（数量场）及矢值函数（矢量场）。kzyxRjzyxQizyxpzyxA),,(),,(),,(),,(一、由微分运算决定的三个量1、梯度：gradf=kzfjyfixffkzjyixf)(},,{zfyfxff(x,y,z)本身是数量场，gradf却是矢量场。2、散度：ZRyQxp}R,Q,P{}z,y,x{AAdiv)z,y,x(A是矢量场，但Adiv却是数量场。3、旋度：RQPzyxkjiAArot这里f（数乘）A（点乘）A（叉乘）都是以微分运算决定的量，可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。.kzjyix2、环流量RdzQdyPdxdrARQPzyxdxdy,dzdx,dydzStokesA当为流速场时，视之为环流量。dsArot场论表示三、特殊场1、有势场：若存在数值函数u(x,y,z)使，则为有势场。2、无源场：若在任一点的散度，则称为无源场。3、调合场：当即无源，又无旋则为调合场。graduAAAA0Adiv0Adiv0Arot