圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用

圆锥曲线第二定义在一些题目中的应用北京一零一中学数学组何效员圆锥曲线的第二定义：平面上到定点与到定直线的距离的比为常数e的点的轨迹是圆锥曲线概念的重要组成部分，它揭示了圆锥曲线之间的内在联系，是圆锥曲线在极坐标系下具有统一形式的基本保证。利用圆锥曲线的第二定义，在某些情形下，可以更方便的求解一些题目。但当我们利用第二定义时，有时候会忽略一个条件，即平面上的这个定点不能在定直线上，否则得到的曲线不是圆锥曲线。如：考虑坐标平面上，到定点(1,1)与到定直线1x的距离之比为常数e的点的轨迹讨论如下：①当1e时，点的轨迹方程为1,(1)yx，直线去掉一点；②当1e时，点的轨迹方程为211(1),yex(1)x，两条直线去掉一点；③当1e时，点的轨迹不存在。下面我们就一些具体的题目来体会第二定义的妙用。例1已知椭圆22143xy内一点(1,1)P，F为右焦点，椭圆上有一点M使||2||MPMF的值最小，求点M的坐标。分析：若按常规思路，设点(,)Mxy，右焦点(1,0)F，则2222||2||(1)(1)2(1)MPMFxyxy，求其最小值无疑是困难，观察2||MF，设M点到右准线的距离d，||12MFceda，2||MFd，这样MPFMx=4Oyx||2||MPMF就转化为在椭圆上寻找一点到(1,1)P的距离与到直线24axc的距离和最小，当且仅当MP直线4x时，点M在点P和直线4x之间时取得，此时M的坐标为26(,1)3.例2已知椭圆方程为22221(0)yxabab，求与这个椭圆有公共焦点的双曲线，使得它们的交点为顶点的四边形的面积最大，并求出相应的四边形的顶点坐标。分析：本体若通过椭圆与双曲线方程联立求解交点坐标，继而讨论四边形面积的表达式，求出使面积最大时的双曲线方程，计算会十分麻烦，考虑到椭圆和双曲线有共同的焦点，不妨利用第二定义求解。设所求双曲线方程为22221(,0)yxmnmn，其中22222cabmn，设两曲线在第一象限内的交点111(,)Pxy，12,ll分别为椭圆，双曲线的上准线，过1P作11PQl于Q，12PRl于R，221211111||||||||||cacmPFePQePRyyacmc，2211()()ammyaycc，解得1amyc，代入椭圆方程22221yxab，得1bnxc，利用双曲线与椭圆的对称性知2211224422abmnmnSxyababcc，等号当且仅当22mnc时取得，故所求双曲线方程为22222abyx，相应的四个顶点坐标为22(,)22ba.例3已知椭圆222210xyabab的两个焦点分别为1,0Fc和2,0Fc，过点2,0aEc的直线与椭圆相交于,AB两点，且1212//,2FAFBFAFB（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率。分析：本题是2009年天津卷文科第22题的前两问，参考答案是用常规方法，即设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用B为AE之中点求解，方法虽易理解，但计算繁杂，极易出错，而利用椭圆的第二定义，求解过程简洁，极富数学美感。为对比，先将两种解法列出。解法一（1）由1212//,2FAFBFAFB，得2211||||1||||2EFFBEFFA，从而2212accacc，整理得223ac，故离心率33cea.（2）解：由（1）知，22222bacc，所以椭圆的方程可以写为222236xyc，设直线AB的方程为2()aykxc即(3)ykxc，由已知设1122(,),(,)AxyBxy，则它们的坐标满足方程组222(3)236ykxcxyc，消去y整理，得222222(23)182760kxkcxkcc依题意，223348(13)0,33ckk，而222212122218276,2323kkccxxxxkk，由题设知，点B为线段AE的中点，所以1232xcx联立三式，解得222212229292,2323kcckccxxkk，将结果代入韦达定理中解得23k.解法二（2）设椭圆方程为222236xyc，过E作lx轴，知l为椭圆的右准线，过,AB分别作'AAl于'A，'BBl于'B，知'//'AABB，22|||||'||'|AFBFeAABB，即22|||'||||'|AFAABFBB，在'EAA中，根据相似三角形对应线段成比例，|'|||2|'|||AAAEBBBE，221||2||||AFBFAF，则点A在短轴顶点，所以(0,2),Ac直线AB的斜率为2233ABckc。利用圆锥曲线的第二定义，我们在极坐标系中可以很方便地得到圆锥曲线的统一方程：1cosepe，（其中e为离心率，p为焦准距）。利用这个方程，我们很容易得到下面这个结论：过双曲线22221xyab的右焦点且与右支交于两点的弦，当且仅当弦与x轴垂直时，取得最小长度22ba.以双曲线右焦点F为极点，对称轴为极轴，如图所示建立极坐标系，易知双曲线右支的方程为2,(,)1cosepcbepeac，设,AB两点的坐标分别是12(,),(,)，212222221cos1cos()1cosepepepbepeeea，当且仅当2时，等号成立.yOxA'B'F1F2EBA利用这个结论，我们可以很轻松地证明1997年全国高中数学联赛一试第8题。例4证明：过双曲线2212yx的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数使得||AB的直线恰好有3条，则4.圆锥曲线第二定义在解题中的妙用不可胜数，本文只是稍加举例，更多的应用还有待我们去探索体会.清代“红顶商人”胡雪岩说：“做生意顶要紧的是眼光，看得到一省，就能做一省的生意；看得到天下，就能做天下的生意；看得到外国，就能做外国的生意。”可见，一个人的心胸和眼光，决定了他志向的短浅或高远；一个人的希望和梦想，决定了他的人生暗淡或辉煌。人生能有几回搏，有生不搏待何时！所有的机遇和成功，都在充满阳光，充满希望的大道之上！我们走过了黑夜，就迎来了黎明；走过了荆棘，就迎来了花丛；走过了坎坷，就走出了泥泞；走过了失败，就走向了成功！一个人只要心存希望，坚强坚韧，坚持不懈，勇往直前地去追寻，去探索，去拼搏，他总有一天会成功。正如郑板桥所具有的人格和精神：“咬定青山不放松，立根原在破岩中。千磨万击还坚劲，任尔东南西北风。”梦想在，希望在，人就有奔头；愿奋斗，勇拼搏，事就能成功。前行途中，无论我们面对怎样的生活，无论我们遭遇怎样的挫折，只要坚定执着地走在充满希望的路上，就能将逆境变为顺境，将梦想变为现实。实现人生的梦想，我们必须希望和拼搏同在，机遇和奋斗并存，要一如既往，永远走在充满希望的路上！