详解燕尾模型

燕尾模型，研究的是怎样把一个三角形内部两个成燕子尾巴关系的三角形（其实两个三角形的关系是共边）面积的比转化成线段长度之间的比。一、燕尾模型基本结论如下图，燕尾模型的基本结论为：S1：S2=L1:L2=S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4），其中S3：S4=（S1+S3）：（S2+S4）=L1：L2是共高得到的结论，S1：S2=L1：L2是燕尾模型的结论。需注意，一个三角形内部，内部某个点与三个顶点分别相连后，会形成左、右、下三个燕尾三角形，并会形成（左、右）（左、下）（右、下）三组燕尾。这三组燕尾就是燕尾模型研究的对象！虽然燕尾模型研究的是左、右、下这三个燕尾三角形，但是上面这个图显然无法把两个燕尾三角形的面积比转成成线段的比，所以燕尾模型中最常见的图为下图：图中，根据燕尾模型的结论，有：S△AGB：S△AGC=BE：EC，S△AGB：S△BGC=AF：FC，S△AGC：S△BGC=AD：DB以上就是燕尾模型的基本结论。二、燕尾模型常考图形其实，燕尾模型经常考察的图形是下面这个图。即只画出三个顶点中两个顶点出发的两条线AD、BE交于一点O，并且告诉我们两条线AD、BE分三角形两条边成的两条线段的比BD：DC，AE：EC(即两个外比）。比如说，已知三角形ABC中，BD：DC=1:1，AE：EC=1：2。接下来我们就来看一下，这样一个图形中，在就知道这两个外比的情况下，能推出什么样的结论。对于这个图，因为是在考燕尾模型，所以一定首先要首先作出辅助线，构造出三个燕尾三角形，如下图虚线，此时根据BD：DC=1：1，AE：EC=1:2两个外比，我们可以解决下面三个问题：（1）另一个外比AF：FB（2）图中三条线BE、AD、CF分成的S1、S2、S3、S4、S5、S6六个小三角形的份数关系（3）三个内比，即AG：GD，CG：GF，BG：GE而求解这三个问题的过程是统一的，基本思路就2步：（1）求三个燕尾三角形S左（三角形ABG）、S右（三角形AGC）、S下（三角形BGC）的连比（2）用份数表示每个三角形的面积。下面我们按照这两步的思路（先求三个燕尾三角形连比，再用份数表示）来分别解决上面的三个问题。1、求S左、S右、S下的连比S左：S右=1：1，S左：S下=1:2，可推出S左：S右：S下=1:1:2，所以AF：FB=S右：S下=1:2，第一个问题解决。2、用份数表示图中每个小三角形面积把三角形ABC的面积看做一份，因为S左：S右：S下=1：2：1，所以S左占1/4份，S右占1/4份，S下占2/4份。即首先把三角形ABC分成三份。接下来，再研究S1与S2，发现因为S1与S2共高，所以S1占S左的1/3,S2占S左的2/3，所以S1占1/4×1/3=1/12份，S2占1/4×2/3=1/6份；同理，因为S3与S4在S右内共高，所以S3占S下的1/2，S4占S下的1/2,所以S3占2/4×1/2=1/4份，S4也占1/4份同理，S5占1/4×2/3=1/6份，S6占1/4×1/3=1/12份。这样，图中的六个小三角形的份数关系都表示出来了。3、求出三个内比AG：GD，CG：GF，BG：GE此时，问题就变得非常简单了，利用共高模型的结论，可得AG：GD=S△AGC：S△DGC=1/4份：1/4份=1:1CG：GF=S△AGC：S△AGF=1/4份：1/12份=3:1BG：GE=S△AGB：S△AGE=1/4份：1/12份=3:1到此三个问题都被我们解决了，而一开始我们的出发点是只知道两个外比BD：DC，AE：EC！！当你明白了上面的三个结论的推导过程后，尤其是知道在把三角形ABC的面积看作一份的情况下，怎么去表示出S1、S2、S3、S4、S5、S6每个小三角形的份数的时候，燕尾模型所有难题都会迎刃而解的！！！！！！！！！