线性代数(数学系辅导)参考答案

128道复习题参考答案1、五阶行列式有5！项，其中一项为：jiaaaaa34221531，该项为负，则i＝4；j＝5。提示：先把jiaaaaa34221531写为53423211aaaaaji，因为该项为负，则项列标排列必为奇排列，即：（i，1，j，2，3）的逆序数为奇，则i＝4、j＝5。2、A为五阶方阵，且|A|=－3，则||A|A|＝729。提示：公式：AkkAn3、),,(321aaaA，A为三阶方阵，且|A|＝5，),2,3(3122aaaaB，求|B|＝－30。提示：对矩阵B的行列式进行若干次列变化，就可以找出和A的行列式的关系。4、若有：0111221252552842232xxx，则x＝1，2，5。提示：把2提出来，再转置，原行列式就变为范得蒙行列式，则有：2（1－2）（1－5）（1－x）（x－2）（x－5）（5－2）＝0。25、1111132211nnaaaaaaaniian1)1(。提示：做变换：iiCC1，n21，i6、abbbbabbbbabbbba1)]()1[(nbaabn。7、nabababbbba321niiniiaaba2221。提示：该题应该有一个条件：01niia。该题为“箭头矩阵”。做变换：iiCabC)(1，n2i。8、2514112301321241D，求：4232221252AAAA＝0。提示：把D的第三列的4个元素分别乘第3列4个元素对应的代数余子式，显然即为所求：4232221252AAAA，根据定理有：该值为0。9、323010051A，求：AAA7523＝3E。3A的特征多项式为：375)(23f，则有：OEAAAAf375)(23，则有：EAAA3752310、1A00001552000210000021000320－，求：－－－－A先求213221321、122552211，该题考查对角分块矩阵的求逆法：111BOOABOOA；OABOOBAO111。0120002500000210003215100001A11、设n阶方阵满足：05620042EAA，若有AX＝X＋2E，求：X＝。提示：1)(2EAX，而（A－E）（2004A＋2010E）＋2010E＋5E＝O，则：EAEA2010200420151)(112、判断下列命题是否正确：若可以由n,,21线性表示，但不能由121,,n线性表示，则：n可以由,,,121n线性表命题正确。提示：若可以由n,,21线性表示，则有：nnkkk2211；4又根据：“但不能由121,,n线性表示”，可以知道，0nk。则，显然有：nnnnnnkkkkkkk1112221113、已知：n,,21向量组线性无关，则向量组21、32、43、……nna1、1n是：。A、线性相关B、线性无关C、可能线性相关，也可能线性无关答案为：C提示：题目的意思是向量组21、32、43、……nna1、1n可以由向量组n,,21线性表示，即有：1111111111,,,,,,,2111433221nnnn系数矩阵的行列式按第一行展开，得：n1)1(1。显然有：当n＝奇数时，行列式不为零，即向量组21、32、43、……nna1、1n线性无关；当n＝偶数时，行列式为零，即向量组21、32、43、……nna1、1n线性相关。14、非常重要！（见三导丛书）会证明，且会用其结论。（如13题）15、设A为三阶方阵，A的三个不同特征值为：321,,，它们对应的特征向量为：321,,，321，证明：2,,AA线性无关。证明：（必会！）设：02321AxAxx（1）已知：111A、222A、333A，3215把它们代入（1）式，并化简，有：0)()()(323332122232211213121xxxxxxxxx因为321,,各不相同，则321,,线性无关，则有方程组：000233321223221213121xxxxxxxxx，其矩阵表示为：000111321233222211xxx，显然系数矩阵为范得蒙行列式，321,,各不相同，则系数行列式不为零，故，方程组只有零解：000321xxx，证毕。16、已知321,,线性无关，4321,,,线性相关，5321,,,线性无关，则54321,,,是：。A、线性无关B、线性相关C、可能线性无关，也可能线性相关答案为A。提示：可以这样理解：321,,线性无关，4321,,,线性相关，则4可以由321,,线性组合出来，则显然有：矩阵（5321,,,）进行若干次初等列变换，可得到：矩阵：（54321,,,）。17、求向量组T)0,2,1,3(1、T)3,14,7,0(2、T)1,4,2,1(3、T)1,0,2,1(4、T)2,6,5,1(5的秩，并求一个最大无关组，并把其余向量用最大线性无关组线性表示。提示：（必会！）相当于解两次非奇次线性方程组。6000001100031031103203101211306041425227111103,,,,54321－进行行初等变换则421,,为最大无关组，且有421303131＋＋＝－、42153132＋＋＝18、验证T)3,2,1(1，T)6,5,4(2，T)9,8,7(3是3R的一个基，并将向量T)9,9,13(、T)18,1,4(用这个基来表示。提示：与17题类似。先验算矩阵（321,,）的行列式不为零。再解非奇次线性方程组。步骤为：对矩阵18996319852413741－－－－进行行初等变换，变为行最简形式：如为：fcebda100010001，则有结论：321cba、321fed。19、对n元方程，下列命题正确的是：A、Ax＝0只有零解，则Ax＝b有唯一解B、Ax＝0有非零解，则Ax＝b无穷解C、Ax＝b有唯一解，则Ax＝0有唯一解D、Ax＝b有唯一解，《＝＝》r(A)=n答案为：C提示：因为Ax＝b常常无解。故，从“Ax＝b有解”出发的命题往往是对的。当然要具体问题，具体分析啦！720、已知21,为Ax＝b的两个不同的解向量；21,为Ax＝0的基础解系，则，Ax＝b的通解为：。A、2)(2121211kkB、2)(2112211kkC、2)(2121211kkD、2)(2121211kk答案为：B提示：21,为基础解系，则12也为Ax＝0的解，且12与1线性无关。当然（1，12）也为基础解系了。另221显然为Ax＝b的一个特解。21、问a、b为何值时，下列方程有唯一解；无解；有无穷解？并求出无穷解时的通解。4234321321321xbxxxbxxxxax提示：这类题目有两种方法，该题目若用第一种方法，则很难得出完整的答案。故，选第二种方法。对增广矩阵进行行初等变换。41b2131b1411a～三行交换～411412b1311ab～aaabb3411010b0311～第二行乘a加到第三行中～aab2411010b0311～第三行和第二行交换，8并化简新的第三行～1)42()1(0024110311babaaab1、则当0b1且a时方程组有唯一解；2、要让ba)1(＝0，且01)42(ba时方程组有矛盾方程。则有：当a＝1且21b；或b＝0。时，方程组无解。3、当ba)1(＝0，且01)42(ba，即a＝1且21b时方程组有无穷多组解。其方程组的增广矩阵进行行初等变换为：000020102101，则通解为：k101＋02222、0)4(44403)3(33022)2(20)1(4321432143214321xaxxxxxaxxxxxaxxxxxa试问a取何值，方程组有非零解，并求其解。答案：0a，……；10a，……。23、已知：T)4,3,2,1(1、T)1,0,1,0(2、Ta)9,,3,2(3、Ta)13,6,,2(4Tb),18,0,6(。（1）a、b取何值时，不能由4321,,,线性表示。（2）a、b取何值时，由4321,,,唯一的线性表示。答案：361ba且无解；1a,6－且a唯一解。9提示：（1）、（2）分别对应方程组43214321,,,,xxxx无解和唯一解。24、设31232221321222),,(xbxxxaxxxxf（b0）。若f的矩阵A的所有特征值之和为1，所有特征值之积为－12。（1）求a、b的值（2）利用正交变换将f化为标准型，并写出正交矩阵。（3）若2xxT，求),,(321xxxf的最大值和最小值。答案：（1）a＝1，b＝2（2）……（3）23222131232221322422yyyxxxxxf，则显然有：)(2)(3232221232221yyyfyyyPyx，因为正交变换不改变向量长度，则)(232221yyy＝)(232221xxx＝2，所以有：46f25、3221232221321445),,(xxxxxxxxxxf是：。A、正定B、负定C、不是正定，也不是负定。答案为C。26、设A为正定矩阵，证明：|E+A|1。证：因为A为正定阵，则1PPA，其中为对角阵，且对角线元素必为正EPEPPPPEPAE111，则|E+|主对角线上的元素都大于1，在|E+A|1。27、设A为n阶正定矩阵，证明：存在n阶正定矩阵B，使A＝2B10因为A为正定阵，则1PPA，其中n321，且对角线元素必为正。则有：1111PCPPCPPCCPPPA，nC321，令1PCPB，显然B也为正定阵。则A＝BB。28、设：3R的两组基为T)1,0,1(1、T)1,0,1(2、T)1,1,1(3和T)1,2,1(1