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2002年线性代数与空间解析几何试题(A)一.填空题(每小题3分,共15分)1.设矩阵200540321A,132015001B,则行列式AB.2.设tA23402211,若3阶非零方阵B满足0AB,则t.3.已知3阶方阵A的行列式3||A,则行列式|2|1A4.设3阶方阵A的三个特征值分别为1、2、3,又方阵EAAB22,则方阵B的特征值为.5.若矩阵aaA0001012为正定矩阵,则a的取值范围是.二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.齐次线性方程组0Ax有非零解的充分必要条件【】(A)A的行向量组线性相关;(B)A的列向量组线性相关;(C)A的行向量中有一个为零向量;(D)A为方阵且其行列式为零.2.设n维行向量)21,0,,0,21(,矩阵TIA,T2IB,其中I为n阶单位阵,则AB【】(A)0;(B)I;(C)I;(D)TI.3.设321,,是齐次方程组0Ax的基础解系,则下列向量组中也可作为0Ax的基础解系的是【】(A)32132212,,;(B)133221,,;(C);(D).4.已知线性方程组有无穷多个解,则【】(A)2;(B);(C)1;(D).5.设矩阵的秩,下述结论中正确的是.【】(A)的任意个列向量必线性无关;(B)的任意一个阶子式不等于零;(C)齐次方程组只有零解;(D)非齐次方程组必有无穷多解.321211,,3221,0,211111111321xxxaaaa21nmAnmAr)(AmAm0AxbAx三.(10分)已知方阵,试求行列式及逆矩阵.四.(10分)设方阵,已知,求.五.(12分)讨论为何值时,方程组(1)有唯一解?(2)无解?(3)有无穷多解?并在有无穷多解时求出其通解.六.(10分)设向量组:,,,,试求此向量组秩和一个极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示.七.(12分)用正交变换化二次型为标准型,并求出所用的正交变换及的标准型.八.(8分)已知3阶方阵满足:,,其中为元素的代数余子式,求九.(8分)设两向量组:,的秩为,证明:向量组的秩为3.2000011202310216A||A1A310120002ABAAABA26B321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxxT1)1,1,1(T2)2,4,3(T3)0,4,2(T4)1,1,0(322322213214332),,(xxxxxxxxff)(ijaAijijAa011aijAija.||A321,,)I(421,,)II(3)II(,2)I(rr4321,,2002年线性代数与空间解析几何试题(B)一、填空题(每小题3分,共15分)1.设矩阵,,则行列式.2.设,若3阶非零方阵满足,则.3.齐次线性方程组的基础解系为_.4.曲线绕轴旋转一周所得旋转面的方程为.5.若矩阵为正定矩阵,则的取值范围是.二.单项选择题(每小题3分,共15分)1.齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是【】(A)的行向量组线性相关;(B)的列向量组线性相关;(C)的行向量中有一个为零向量;(D)为方阵且其行列式为零.2.设维行向量,矩阵,,其中为阶单位阵,则【】(A)0;(B);(C);(D).3.设是齐次方程组的基础解系,则下列向量组中也可作为的基础解系的是【】(A);(B);(C);(D).6.已知线性方程组有无穷多个解,则【】(A)2;(B);(C)1;(D).7.设矩阵的秩,下述结论中正确的是【】(A)的任意个列向量必线性无关;(B)的任意一个阶子式不等于零;(C)齐次方程组只有零解;(D)非齐次方程组必有无穷多解.200540321A132015001BABtA23402211B0ABt000201421321xxx)31(0xzexyoxaaA0001012a0AxAAAAn)21,0,,0,21(TIAT2IBInABIITI321,,0Ax0Ax32132212,,133221,,133221,,3221,0,211111111321xxxaaaa21nmAnmAr)(AmAm0AxbAx三.(10分)已知3阶方阵可逆且,试求的伴随矩阵的逆矩阵.四.(12分)证明直线与直线在同一平面上,并求与交点的坐标,及平面的方程.五.(12分)设向量,,,,,问取何值时,向量可由向量组线性表示?并在可以线性表示时求出此线性表示式.六.(8分)设两向量组:,的秩为,证明:向量组的秩为3.七.(10分)已知方阵的特征值为(1)求的值;(2)是否可以对角化?若可以,求可逆矩阵及对角矩阵,使得.一.(12分)用正交变换化二次型为标准型,并求出所用的正交变换及的标准型九.证明题(6分)(两题中选做一题)1.设3维欧几里德有两个标准正交基,.已知可由线性表示为,试证:矩阵为正交矩阵.2.设为阶方阵,表示矩阵的秩,试证:A3330221011AA112131:1zyxL243514:2zyxL1L2LT1)4,2,1,1(T2)2,3,1,0(T3)14,10,2,3(aT4)5,2,1,1(aT)10,6,1,2(bba,4321,,,321,,)I(421,,)II(3)II(,2)I(rr4321,,3000201abA.0,3321ba,APDDAPP1323121232221321828878),,(xxxxxxxxxxxxffV321,,)I(321,,)II()II()I(333223113333222211223312211111aaaaaaaaa33)(ijaAAn)(ARA).()(1nnARAR2002年线性代数与空间解析几何试题(C)一.填空题(每小题3分,共30分)1.已知3阶方阵的行列式,则行列式.2.已知3阶方阵,其中为的列向量组,若行列式,则行列式.3.已知阶方阵,满足,为单位阵,则.4.设矩阵,为的伴随阵,则_____.5.设,若3阶非零方阵满足,则____.6.设向量组:,,线性相关,则___.7.设是维向量,令,,,则向量组的线性相关性是.8.设为的矩阵且秩为2,又3维向量是方程组的两个不等的解,则对应的齐次方程组的通解为.9.设3阶可逆方阵有特征值2,则方阵必有一个特征值为.10.若二次型为正定二次型,则的取值范围是______________.二.(8分)已知方阵,试求行列式.三.(12分)设方阵,又已知,求以及.四.(12分)讨论为何值时,方程组(1)有唯一解?(2)无解?(3)有无穷多解?并在此时求出其通解.五.(10分)设向量组:,,,,试求此向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示.六.(12分)用正交变换化二次型为标准型,并求出所用的正交变换及的标准型.A0||aA|2|A),,(321B321,,B2||B|,3,2|1213nA02EAAE1A100010321AAA1)(A12032211tAB0ABtT1)0,0,1(T2)4,2,0(T3),3,1(tt21,n1212211211321,,A3421,bAx0AxA12)(A212322213212)1(2),,(xxxxxxxxfyxxxxxyxxxxxyxxxxxyxA322||A200010002,100011021BABAAXXA,15X321321321)1(3)1(0)1(xxxxxxxxxT1)1,1,1(T2)2,4,3(T3)0,4,2(T4)1,1,0(32232221321222),,(xxxxxxxxff七.(8分)设方阵为阶正交阵且,为阶单位阵,试求行列式八.(8分)设两向量组:,的秩为,证明:可由向量组线性表出.An0||AEn.||EA321,,)I(4321,,,)II(3)II()I(rr4321,,2005年线性代数与空间解析几何试题(A)符号说明:)det(A指方阵A的行列式;*A指方阵A的伴随矩阵;TA指矩阵A的转置矩阵;r)(A指矩阵A的秩;I为单位矩阵;nx]F[指次数不超过n的一元多项式全体构成的线性空间.一、填空题(每小题3分,共12分)(1)若3阶方阵A、B的行列式分别为3)det(,2)det(BA,则)2det(*1BA__________.(2)设4阶可逆方阵A按列分块为][4321A,方阵][2314B,已知线性方程组bBx有唯一解为T),,753,1(x,则方程组bAx的解为x=__________.(3)设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2213,T)3,2,1(1及T)4,3,2(2均为A的对应于特征值2的特征向量,则A的对应于特征值1的特征值向量为_________________.(4)设矩阵A301,22310321btp,已知线性方程组bAx无解,则常数p与t满足的关系式是____________.二、单项选择题(每小题3分,共12分)(1)设m阶方阵A的秩为m,nm矩阵B的秩为s,则(A)(rABs).(B)(rABs).(C)(rABs).(D)(rABn).【】(2)设方阵A与B相似,即存在可逆方阵P,使BAPP1,已知为A的对应于特征值的特征向量,则B的对应于特征值的特征向量为(A)P.(B)TP.(C).(D)1P.【】(3)设A为实对称矩阵,则0)det(A是A为正定矩阵的(A)充分而非必要条件.(B)必要而非充分条件.(C)充分必要条件.(D)既非充分又非必要的条件.【】(4)设321,,是齐次线性方程组0Ax的基础解系,则向量组(A)133221,,不能作为0Ax的基础解系.(B)133221,,可作为0Ax的基础解系.(C)133221,,可作为0Ax的基础解系.(D)132121,,不能作为0Ax的基础解系.【】三、(12分)已知方阵A33)(ija的第1行元素分别为111a,212a,113a,且知524735947*A,求)det(A及A.四、(12分)设有向量组(I):T1)5,3,1,2(,T2)4,3,2,3(,T3)3,1,3,4(,T4)17,15,1,4(.问向量T)0,7
本文标题:线性代数与空间解析几何试题
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