线性代数习题(含答案)

线性代数习题一、填空题（请将正确答案直接填在横线上，每小题3分，共15分）：1.向量12243221，，则2α－3β=__________。2.一个含有零向量的向量组必线性。3.设A是一个n阶方阵，则A非奇异的充分必要条件是R（A）=__________。4.设12303206At，当t=时，R(A)=2。5.已知A是m×n矩阵，齐次线性方程组AX=0的基础解系为12,,,s。如R（A）=k，则s=__________；当k=__________时方程只有零解。二、单项选择题(每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内，每小题3分，共15分）:1.设有4维向量组1,…,6，则（）。AR(1,…,6)=4BR(1,…,6)=2C1,2,3,4必然线性无关D1,…,6中至少有2个向量能由其余向量线性表示2.已知4322351521215133A则R（A）为A1B2C3D43.设s,,,21为n维向量组,且秩12(,,,),sRr则()。A该向量组中任意r个向量线性无关B该向量组中任意1r个向量线性相关C该向量组存在唯一极大无关组D该向量组有若干个极大无关组4.若1234,,,XXXX是方程组AXO的基础解系，则1234XXXX是AXO的（）。A解向量B基础解系C通解DA的行向量5.线性方程组414343232121axxaxxaxxaxx有解的充分必要条件是（）A04321aaaaB04321aaaaC03214aaaaD04321aaaa三、计算题（每小题8分，共64分）：1.求向量组1113420112404321，，，的极大线性无关组和秩，并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。2.设，，，c32213321321试问当c为何值时，向量组线性相关？c为何值时向量组线性无关？3．设向量组1231111,,1,1.111问λ取何值时，（1）β可由123,,线性表示，且表达式唯一？（2）β可由123,,线性表示，但表达式不唯一？（3）β不能由123,,线性表示？4.解方程组0752033202432143214321xxxxxxxxxxxx5.求非齐次线性方程组53323221242143143214321xxxxxxxxxxxxxx的通解，并表示出向量形式。6.设线性方程组为243214312143214321121053153363132kxxxxxxkxxxxxxxxxx问1k与2k各取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解；有无穷多解时，求其一般解。7.已知三阶矩阵B≠0且B的每一个列向量都是方程组0302022321321321xxxxxxxxx的解。①求λ的值；②证明0B。四、证明题（每小题6分）：1.证明下列n个n维列向量必线性无关：10001000121neee，，2.设向量组321aaa，，线性无关，证明：向量组133221aaaaaa，，线性无关。线性代数阶段测试题（三）参考答案一、填空题:1、721052、相关3、n4、-45、snk，k=n二、单项选择题:1、D2、D3、B4、A5、C三、计算题:1、解：通过初等变换123401212031414141412031012131102031203122012101210121012100000000所以这个向量组的极大线性无关组为1，23=231—22，4=211—22、解：122132132132,,213010717(5)32076005cccc－－7所以当122,,0即c=5时，向量组线性相关，当122,,0即c5时，向量组线性无关。3、解：因为21111111111(1)11(1)010(1)(1)1111001所以（1）当λ≠-1且λ≠1时，β可由123,,线性表示，且表达式唯一；（2）当λ=1时，123123(,,)(,,,)13RR，β可由123,,线性表示，但表达式不唯一；（3）当λ=-1或λ=1时，β不能由123,,线性表示。4、解：经初等变换得1112111210432313011013125710330000A-3--9所以()2RA,方程组有解。而432431334xxxxxx＝－＝－，分别取3410,01xx，得基础解系为1＝4310－，2＝3101－.故方程组的通解为：01341－k＋10132－k，其中1k，2k为任意常数。5．解：经初等变换得11211112112112301301()=101120101310350602AB----3-211211101120130101301000000000000000000-－－00所以()()2RARAB,方程组有解。而134233xxxxx，分别取3410,01xx得基础解系为1＝1310，2＝1001而方程组1342321xxxxx的一个特解为1212U,所以方程组通解为rkk211＋=11310k+10012－k+2121其中1k，2k为任意常数。6.解：将方程组的增广矩阵做初等变换得112211231112311361302422()3115304660151012061291ABkkkk112211231112310121101211046600022406129100035kkkk---------+所以，当650221＋＝－kk即1221kk＝时，方程组无解；当021k－即21k时，方程组有唯一解；当650221＝＋＝－kk即1221＝＝kk时，方程组有无穷解。此时112311123111205012110121101203()000240001200012000360000000000AB---10008012030001200000-所以()()3RARAB,方程组有解。而齐次方程组123342,1xxxxx=0=取=0，得基础解系为0120－＝非齐次方程组23284321＝＝＋＝－xxxx的一个特解为8112U－所以，方程组的通解为ak＋1＝211801201－＋－k其中1k为任意常数。7.解：①经初等变换化为12212221054311055--，因为B的列向量是方程组的解，所以0550450221－，154秩R=2②因为R=2，所以方程组的基础解系只有2个向量，3个解必线性相关，而B的列向量都是方程组的解。所以B的列向量线性相关。所以｜B｜=0。四、证明题：1、证明：利用反证法假设1e，2e，…..，ne线性相关，则存在1k，2k，…，nk不全为零，使得：1k1e+2k2e+…+nkne=0即1k0..01+2k0..10+…….+nk1..00=nkkk..21=0故1k=2k=……=nk=0，这与假设矛盾，所以原命题成立，1e，2e，…..，ne线性无关。2、证明：112223331131122233123131223123122331()()()0()()()00001011100011.kkkkkkkkkkkkkkkkkk设，即因为，，线性无关，则所以＝2，即，，有唯一零解故，，线性无关