线性代数在桥梁分析中的应用

桥梁分析——线性代数的应用教学插件教学目的和要求：通过桥梁分析问题，使学生：1、了解线性代数在土木工程中的应用；2、了解如何通过做一些使问题简化的假设，建立实际问题的数学模型；3、体会学好线性代数知识的重要性；4、激发学习线性代数的兴趣。知识点：线性方程组向量分解计划学时：1-2学时必备技能：1.力的平衡分析；2.向量分解；3.求解线性方程组。主要内容1．应用场景2．问题分析3．建立数学模型4．课外任务桥梁分析--11．应用场景解方程组在许多领域都有应用。下面给出一个在土木工程中的应用例子，虽然加入了一些幽默元素，但类似的情形土木工程师会经常遇到。一位货运司机正驾着卡车为一个数学家聚会运送物资，但他的卡车超载了。途中，他遇到了一个古老的桁架桥。这座桥没有标明最大承重载荷。由于注意了到桥下水中有鲨鱼，他想知道自己那超重的卡车能否安全过桥，这辆卡车大约重10吨（20，000磅）。他拿出手机给你打电话，请你帮忙分析，并给出建议。图1中卡车正处于使桁架结构内力和压力最大的位置。2．问题分析桁架结构很坚固，是由销连接的三角形构成的。因此，桁架结构不会弯曲（变成一个微笑的或者皱眉的形状），但是可以拉伸或压扁。两个相同的桁架对称地支撑着桥面，桥的两侧各一个（在图1中，看不见第二个桁架，它在第一个后面）。每个桁架结构承载卡车重量的一半。卡车和货物总重是20，000磅，因此每个桁架结构承重10，000磅。假设卡车前面比较重，前轮承受5720磅的重量，后轮承受4280磅，如图2所示。在铰链A处，桥被固定，当有人刹车时它不会掉进沟里。在铰链D处，桥可以自由的滑动这样在热天它可以膨胀。图1：一个危险的情况桥梁分析--23.建立数学模型为了判断该桥是否会断裂，可以用节点法。假设，当桥中桁架的任何组件断裂时，整座桥就会断裂。节点法是分析桁架每个节点的平衡条件。节点平衡要求该点所受到的所有内力和外力相互平衡，否则，桁架将会移动。如图3所示，有三个未知的外力xA,yA,和yD，作用在桁架与地面接触的节点上。这三个外力与4280磅和5270磅的负载共同作用导致桁架组件的内力。桁架每个组件的内力可以通过对每个节点运用节点法来确定。图3是节点法在每个节点应用的示意图。假设内力方向如箭头所示。所有使桁架组件“截断”的力表为张力，即作用在桁架组件的拉力。为了把卡车的重量从桥的中间转化为桥两端的支撑力，一些组件一定会被压缩，另一些一定会被拉伸。所以合力结果为负说明先前的假设错误，而那个特殊的力实际上是压力。在图3中具有负值的力的箭头应向内。图2：其中一个构架的示意图图3：节点法的应用桥梁分析--3为了使桁架满足平衡条件，在每一节点处，x轴方向和y轴方向的合力应分别为0。对应的数学表达式为0xF和0yF。大小为4280lb的力作用在B点和大小为5720lb的力作用在C点说明，卡车重量直接作用在节点处。让我们来看一下如何根据节点法分析任一节点处的受力情况节点A每个桁架用桁架两端节点处的字母表示，如图3，对支点A有四个力的作用xA,yA,ABF,和AEF:·xA表示作用在A点作用在x轴方向上的力，ABF表示从A点指向B点的力。·AEF表示力的方向为从A指向E。注意AEEAFF，当分析A点时，将力分解在X和Y方向上。图4是对力AEF的分析，演示了如何对力进行分解。在AEF在Y方向上的分力：610AEyFAEF在X轴方向的分力大小：图4：把AEF看作直角三角形斜边桥梁分析--4810AExF为了使A点保持平衡状态，该点处X轴方向和Y轴方向的合力分别为0。A点处Y轴方向的合力：6010yAEAF接着你需要求出A点处X轴方向的合力。然后，通过在每一个支点处重复这样的过程，你可以建立一个方程组以求得各个桁架组件间未知的力。这个方程组有唯一解（因为未知数的个数和方程的个数相同）。4.课外任务1）确定作用在桁架上的所有的内力和外力。2）为了评估桁架的安全性，你需要确定桁架的每个组件最多能承受多大的力而不毁坏。一位土木工程专业的学长通过快速计算，报告说每根杆能承受9000磅的拉力和6500磅的压力，问卡车是否能安全通过该桥梁。3）对于你的分析和得出的结论写一份技术报告。4）你还可以做一些其他探讨，进行拓展。