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1线性代数第三章综合自测题一、单项选择题(在四个备选答案中,只有一项是正确的,将正确答案前的字母填入下面横线上。本题共10小题,每小题3分,共30分)1.如果向量β能由向量组mααα,,,21线性表示,则(D)。(A)存在一组不全为零的数mkkk,,,21,使得mmkkkαααβ2211(B)对β的线性表示惟一(C)向量组mαααβ,,,,21线性无关(D)存在一组数mkkk,,,21,使得mmkkkαααβ22112.向量组t,,,21线性无关的充分条件是(C)(A)t,,,21均为非零向量;(B)t,,,21的任意两个向量的分量不成比例;(C)t,,,21中任意部分向量组线性无关;(D)t,,,21中有一个部分向量组线性无关。3.若mααα,,,21线性相关,且0mmkkkααα2211,则(D)。(A)021mkkk(B)mkkk,,,21全不为零(C)mkkk,,,21不全为零(D)上述情况都有可能4.一个nm阶矩阵A的秩为m,则下列说法正确的是(A)(A)矩阵A的行向量组一定线性无关;(B)矩阵A的列向量组一定线性无关;(C)矩阵A的行向量组一定线性相关;(D)矩阵A的列向量组一定线性相关。5.两个n维向量组A:s,,,21,B:t,,,21,且rBRAR)()(,于是有(C)(A)两向量组等价,也即可以相互线性表出;(B)sR,,,(21,rt),,,21;(C)当向量组A能由B线性表出时,两向量组等价;(D)当ts时,两向量组等价。6.若向量组γβα,,线性无关,向量组δβα,,线性相关,则(C)。2(A)α必能由δγβ,,线性表示(B)β必不能由δγα,,线性表示(C)δ必能由γβα,,线性表示(D)δ必不能由γβα,,线性表示7.下列命题中正确的是(D)(A)若向量组的秩为r,则该向量组的其中的任意r个向量均线性无关;(B)若向量组中有r+1个向量线性相关,则该向量组的秩一定至多等于r;(C)向量组A与向量组B等价的充要条件是)()(BRAR;(D)可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数。8.已知n维向量组(Ⅰ):mααα,,,21和(Ⅱ):sβββ,,,21的秩都等于r,那么下述命题不正确的是(A)。(A)若sm,则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价(B)若向量组(Ⅰ)是向量组(Ⅱ)的部分组,则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价(C)若向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)的部分组表示,则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价(D)若rRsm),,,,,,,(2121βββααα,则向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价9.设)1,1,1(1,)3,2,1(2,3=),3,1(t,当321,,线性无关时,t不等于(D)(A)1;(B)2;(C)3;(D)以上都不对10.设A是nm矩阵,B是mn矩阵,则(B)(A)时,当nm0AB;(B)时,当nm0AB;(C)当mn时,0AB;(D)当mn时,0AB。二、填空题(本大题共10个空,每个空2分,满分20分)1.已知),1,3,52(,),3,724(,,则3=2,22,1,110,54=1534,112,,。2.已知)3,1,5,2(1,)5,2,,1,2(2,)1,1,1,4(3,且)(5)(2)(3321,则=37,2235,,。3.一个向量组含有两个或两个以上的最大无关组,则各个最大无关组所含向量个数必相等。34.设321,,是3维线性无关的向量组,A为3阶方阵,且211A,322A,313A,则A=2,)(AR3。5.向量组1=(2,3,-1,5),2=(6,3,-1,5),3=(4,1,-1,7)的秩=3,最大无关组为321,,。6.两个n维向量组A:m,,,21,B:m,,,21,1)(rAR,2)(rBR,3),(rBAR则),max(21rr,21rr,3r的大小关系是:21321),max(rrrrr。7.若向量),2,1(t,可由向量组)1,1,2(1,)7,2,1(2,)4,1,1(3线性表示,则t=5。8.已知向量组)1,1,2,1(1,)0,,0,2(2t,)2,5,4,0(3的秩为2,则t=t=3。9.已知向量组4321,,,αααα线性无关,若向量组21ααk,32αα,43αα,14αα线性相关,则k1。10.n维向量组)3(,,,21nmmααα,而mααα,,,21中任何一个向量都不能用其余向量线性表示,是该向量组线性无关的充要条件。三、计算题(本大题共3个小题,第1,2小题每题5分,第三小题10分,满分20分)1.已知TTTT)1,4,6,2(,)1,2,3,1(,)1,1,1,0(,)0,0,1,1(4321,讨论向量组4321,,,及向量组321,,的线性相关性。解:令1110421063112101,,,4321A111042104210210153000000421021010000530042102101,故,3),,(),,,(3214321RR,所以4321,,,线性相关,而321,,4线性无关。2.已知向量组TTTba)0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321与向量组TTT)7,6,9(,)1,0,3(,)3,2,1(321具有相同的秩,且3可由321,,线性表示,求ba,的值。解:因为07131602931,,,3321bbbb5000211260931故2),,(321R又因为向量组321,,与向量组,,21具有相同的秩,且3可由321,,线性表示,所以2),,(),,,(),,(3213321321RRR故,505bb;则01112150,,321a3500130121a,故15035aa。3.利用初等变换法求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组。(10分)(1)97963422644121121112(2)13114152031210211201解:1.令A=9796342264412112111200000310000111041211故3)(AR,且T,1,4,32,T6,6,1,17,2,1,1为最大线性无关组。(2)令A=131141520312102112015000000001000011002012000200020000110120121102550211002201201故,3)A(R且T12211,T15120,T14011是它的列向量组的最大线性无关组。四、证明题(本大题共3个小题,每题10分,满分30分)1.证明:向量组r,,,21线性无关的充分必要条件是向量组11,rr21212,,线性无关。证明:不妨假设,r,,,21为列向量组,由11,rr21212,,知r21能由r,,,21线性表示,故rrRR2121(1)且,rr2121100110111(*),令K100110111,显然01K,也即K可逆。(*)式两边同时右乘1K,有rrK21121也即r,,,21能由r21线性表示,故rrRR2121(2)由(1),(2)得rrRR2121,也即r,,,21与r21有相同的线性相关性,故向量组r,,,21线性无关的充分必6要条件是向量组11,rr21212,,线性无关。2.证明:如果n维单位坐标向量组n,,,21可以由n维向量组n,,,21线性表示,则向量组n,,,21线性无关。证明:因为n维单位坐标向量组n,,,21可以由n维向量组n,,,21线性表示,所以),,(),,(2121nnRR,又因为n,,,21线性无关,所以nRn),,(21,故nRn),,(21,所以n,,,21线性无关。3.设TTTTTbbb)2,0,1,1(,)0,2,1,3(,)1,1,0,2(,)3,1,1,3(,)1,1,1,1(32121,证明向量组21,与向量组321,,bbb等价。。证明:因为32121,,,,bbb=2013102111110111323100000000001112013231故而),(21R=),,(321bbbR=,,(21R2),,321bbb,因此向量组21,与向量组321,,bbb等价。
本文标题:线性代数第三章练习册答案
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