线性代数第五章(答案)

第五章相似矩阵及二次型一、是非题（正确打√，错误打×）1．若线性无关向量组r,,1用施密特法正交化为r,,1则对任何),1(rkk向量组k,,1与向量组r,,1等价.(√)2.若向量组r,,1两两正交,则r,,1线性无关.(√)3.n阶正交阵A的n个行(列)向量构成向量空间nR的一个规范正交基.(√)4.若A和B都是正交阵,则AB也是正交阵.(√)5.若A是正交阵,Axy,则xy.(√)6．若112nnnnxxA，则2是nnA的一个特征值.(×)7.方阵A的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立.(×)8.n阶矩阵A在复数范围内有n个不同的特征值.(×)9.矩阵A有零特征值的充要条件是0A.(√)10.若是A的特征值,则)(f是)(Af的特征值(其中)(f是的多项式).(√)11.设1和)(212是A的特征值,1x和2x为对应特征向量,则21xx也是A的特征向量.(×)12.TA与A的特征值相同.(√)13.n阶矩阵A有n个不同特征值是A与对角矩阵相似的充分必要条件.(×)14.若有可逆矩阵P,使n阶矩阵A,B满足:BPAP1,则A与B有相同的特征值.(√)15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似.(√)16.设n阶矩阵A,B均与对角阵相似且有相同的特征值,则A与B相似.(√)17．实对称矩阵A的非零特征值的个数等于它的秩.(√)18.若k,,,21线性无关且都是A的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A的特征向量.(√)19.实对称阵A与对角阵相似APP1，这里P必须是正交阵。(×)20．已知A为n阶矩阵，x为n维列向量，如果A不对称，则AxxT不是二次型.(√)21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。(√)22．二次型AxxxxxfTn),,,(21在正交变换Pyx下一定化为标准型.(×)23.任给二次型AxxxxxfTn),,,(21，总有正交变换Pyx，使f化为规范型。(×)二、填空题1．向量1111,求两向量2=____,3=____,使321,,两两正交.Ans:T1,0,12,T21,1,2132.若A是正交阵,即EAAT,则A_____.Ans:1或-13.设121001065A,则A的特征值为________.(-1,2,3)4.n阶方阵A=)(ija的特征值为n,,,21,则A_____11nnii______,nnaaa2211_____121nnii________.5.设二阶行列式A的特征值为2,3,,若行列式482A,则____.(-1)6.设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,则EA14_____,EAA23______.Ans:-15,97.已知xA00110002的伴随矩阵A有一特征值为2，则x.8.若二阶矩阵A的特征值为1和1，则2008A=.9.当x=___时,矩阵01010110xA能对角化.(-1,见教材)10.设A为2阶矩阵,1,2是线性无关的二维列向量,01A,2122A,则A的非零特征值为_______.提示:由1200)()(2,12,1A知A与1200相似,1200非零特征值为1.11、设A为正交矩阵，为A阵的特征值，则AE__________.12、设3阶方阵A的特征值为互不相同,若0A行列式则A的秩为___2__13.二次型32312123222144)(xxxxxxxxxaf经过正交变换Pyx可化为标准型216yf,则a=__2___14.二次型222123123121323,,222fxxxxxxxxxxxx的秩是______；二次型432143212),,,(xaxxxxxxxf的秩为2，则a.15.已知二次型yzxzxyzyxaf222)(222,a的取值为__2a___时f为正定,a的取值为___1a__时f为负定.16.二次型322322214332xxxxxf经过正交变换321xxx______321yyy化为标准形f_______,从而1),,(321xxxf表示的曲面类型是_________.Ans:3212121212132100001yyyxxx,23222152yyyf,椭球面三、选择题1.若n阶非奇异矩阵A的各行元素之和均为常数a，则矩阵12)21(A有一特征值为(A).(A)22a；(B)22a；(C)22a；(D)22a.2.若为四阶矩阵A的特征多项式的三重根，则A对应于的特征向量最多有(A)个线性无关.(A)3个；(B)1个；(C)2个；(D)4个.3.特征值一定是实数的矩阵是(B)(A)正交矩阵(B)对称矩阵(C)退化矩阵(D)满秩矩阵4.设是矩阵A对应于其特征值的特征向量，则其对角化矩阵APP1对应于的特征向量为(D).(A)1P；(B)P；(C)TP；(D).5.若A为n阶实对称矩阵，且二次型AxxxxxfTn),,,(21正定，则下列结论不正确的是(D).(A)A的特征值全为正；(B)A的一切顺序主子式全为正；(C)A的元素全为正；(D)对一切n维列向量x，AxxT全为正.6.下列各式中有(A)等于22212136xxxx。(A)21213421,xxxx；(B)112213,23xxxx；(C)21213511,xxxx；(D)112211,43xxxx；7.矩阵（C）是二次型22212136xxxx的矩阵。(A)3111；(B)3421；(C)3331；(D)3151；8.设A、B为同阶方阵，nxxxX21，且BXXAXX，当（D）时，BA。(A))()(BrAr；(B)AA；(C)BB；(D)AA且BB；9.A是n阶正定矩阵的充分必要条件是（D）。(A)0A；(B)存在n阶矩阵C，使CCAT；(C)负惯性指标为零；(D)各阶顺序主子式均为正数；10.1)()()(),,(22221,21naxaxaxxxxfnn是(B)。(A)非正定二次型；(B)正定；(C)负定；(D)不定；11．正定二次型),,(,21nxxxf的矩阵应是（B）。(A)非对称且左右对角线上元素都是正数；(B)对称且各阶顺序子式都是正数；(C)对称且所有元素都是正数；(D)对称且矩阵的行列式是正数；12．使实二次型zyxkkkkkzyx0101),,(正定的参数k应该是(C)。(A)0k；(B)02k；(C)不存在；(D)0k；13．阶矩阵A为正定的充分必要条件是(C)。(A)0A；(B)存在n阶矩阵,使A=CCT；(C)A的特征值全大于0；(D)存在n维列向量≠0,有0AT；14.次型232221321)2()1()1()(xkxkxkxxxf，当(B)时是正定的。(A)k0；(B)k2；(C)k1；(D)k=1；15.设A，B为正定矩阵，则(D)。(A)AB、BA都正定；(B)AB正定，BA不一定正定；(C)AB不一定正定，BA正定；(D)AB和BA都不一定正定；16.设A，B都是n阶实对称矩阵,且都正定,那么AB是(C)(A)实对称矩阵(B)正定矩阵(C)可逆矩阵(D)正交矩阵17.设矩阵211121112A,000010001B,则A与B的关系为(B)(A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.18.设矩阵1221A,则在实数域上与A合同矩阵为（D）(A)2112(B)2112(C)2112(D)122119.设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)(21A线性无关的充分必要条件是(B)(A)01(B)02(C)01(D)0220.n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是(C)(A)所有k级子式为正),,2,1(nk(B)A的所有特征值非负(C)1A为正定矩阵(D)秩(A)=n