线性代数练习册第四章部分答案(本)

第四章线性方程组§4-1克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（C）A.n元齐次线性方程组必有n组解；B.n元齐次线性方程组必有1n组解；C.n元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解.2．下列说法错误的是（B）A.当0D时，非齐次线性方程组只有唯一解；B.当0D时，非齐次线性方程组有无穷多解；C.若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D；D.若非齐次线性方程组有无解，则0D.二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020xxxxxxxxx有非零解，则1，0.2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D,则方程组有唯一解ixiDD.三、用克拉默法则求解下列方程组1．832623xyxy解：832062D123532D，2821263D所以，125,62DDxyDD2．123123123222310xxxxxxxxx解：2131121121221303550111010rrDrr11222100511321135011011Drr，212121505213221310101101Drr，31212250021122115110110Drr所以，3121231,2,1DDDxxxDDD3．21241832xzxyzxyz解：132010012412041200183583Dcc13110110014114020283285Dcc，2322112102112100123125Dcc，313201001241204120182582Dcc所以，3121,0,1DDDxyzDDD4．12341234123412345242235232110xxxxxxxxxxxxxxxx解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514rrDrrrrrrrr3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522ccDcccccc212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518rrDrrrrrrrr12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127ccDcccccc12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604ccDccrrrr所以，312412341,2,3,1DDDDxxxxDDDD§4-2齐次线性方程组一、选择题1．已知mn矩阵A的秩为1n，12,是齐次线性方程组0AX的两个不同的解，k为任意常数，则方程组0AX的通解为（D）.A.1k；B.2k；C.12()k；D.12()k.解：因为mn矩阵A的秩为1n，所以方程组0AX的基础解系含1个向量。而12,是齐次线性方程组0AX的两个不同的解，所以120为0AX的解，则方程组0AX的通解为12()k。2．设线性方程组1231231230020kxxxxkxxxxx有非零解，则下列说法正确的是（C）.A.k必定为0；B.k必定为1；C.k为0或1；D.这样的k值不存在.3．111212122212nnnnnnababababababAabababLLMMOML,且0ia(1,2,,)inL，0(1,2,,)jjnbL，则0Ax的基础解系中含有（A）个向量.A.1n；B.n；C.1；D.不确定.解：因为1112112122221212nnnnnnnnabababaabababaAbbbabababaLLLMMOMML所以，11()10()1RAabRA；又，所以，()1RA。4．设A为n阶方阵，()3rAn，且123,,aaa是0Ax的三个线性无关的解向量，则0Ax的基础解系为（A）．A．122331,,aaaaaa；B．213213,,aaaaaa；C．21321312,,2aaaaaa；D．1233213,,2aaaaaaa．二、填空题1．n元齐次线性方程组0mnAX有非零解的充分必要条件是()RAn.2．当023或或时，齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0xxxxxxxxx有非零解.3．写出一个基础解系由12,1,0T，23,0,1T组成的齐次线性方程组_____123230xxx.解：方程组可为123223323xxxxxxx即123230xxx三、求解齐次线性方程组1234512345134512345233703230226054330xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解：²²²213141323223421231233712337332113048824A1022602111554331061212361233710004/3(1/3)(1/4)0122601004/3220033110011623000000rrrrrrrrrrrrrrrrr11/30000所以，同解方程组为152534544554/34/311/3xxxxxxxxxxx，令1204/304/3,111/31001所以，通解为1122xkk。四、已知3阶非零矩阵B的每一列都是方程组1231231232202030xxxxxxxxx的解.①求的值；②证明0B.①解：因为3阶非零矩阵B的每一列都是方程组的解.所以方程组有非零解。系数行列式A1222103111。②证明：依题意，ABO。假设0B，则B可逆，11ABOABBOBAO，矛盾。所以，0B。补充：求证：,mnnpAB，0()()ABRARBn.证明：依题意，矩阵B的所有列向量1,,p都是齐次线性方程组0Ax的解，而0Ax解空间的维数是()nRA，所以，1()(,,)()pRBRnRA，即()()RARBn。§4-3非齐次线性方程组一、选择题1．若()RArn，则n元线性方程组mnAXbD.A.有无穷多个解；B.有唯一解；C.无解；D.不一定有解.2．线性方程组012121xxxx（A）.A.无解；B.只有0解；C.有唯一解；D.有无穷多解.3．方程組12312321231xxxxxxxxx有唯一解，则应满足（A）.A.2,1；B.2,1；C.2,1；D.2,1.4．设A＝1100011000111001，1234aabaa，Axb有解的充分必要条件为（D）．A.1234aaaa；B.12341aaaa；C.12340aaaa；D.12340aaaa.二、填空题1．n元非齐次线性方程组mnAXb有非零解的充分必要条件是()(,)RARAb.2．若5元线性方程组AXb的基础解系中含有2个线性无关的解向量，则rA3.3．设有一个四元非齐次线性方程组AXb，()3RA，又123,,是它的三个解向量，其中12(1,1,0,2)T，23(1,0,1,3)T，则非齐次线性方程组的通解为(0,1,1,1)(1,1,0,2)TTk.解：因为123,,是AXb三个解向量，则1223()()(1,1,0,2)(1,0,1,3)(0,1,1,1)0TTT是0AX的解，而()3RA，所以(0,1,1,1)T是0AX的一组基础解系，又1211()(1,1,0,2)22T是AXb的解，所以，AXb的通解为(0,1,1,1)(1,1,0,2)TTk三、求解非齐次线性方程组23424538213496xyzxyzxyzxyz解：231410211245011238213~000041960000212,rAxzyz=等价方程组为1*200,0,(1,2,0)TTxzzyz为自由未知量，令z＝1,得齐次方程组基础解系为：＝（－2，1，1）令z＝得非齐次方程组的一个解为：2112,()10xyccRz所以方程组的通解四、,ab取何值时，线性方程组1231231233244xaxxxaxxxxbx（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？说明:对于方程个数与未知量个数相等的含参数的线性方程组,判别其由唯一解,有无穷解或无解时最好用:方程组有唯一解系数行列式||0A,此种方法简单又不容易出错.解:方程组有唯一解系数行列式||0A2131111111||121001101101(1)(1)011aarrAaarrbabaabab而按第一列展开21233123(1)101310131013,101400010111~11401110001~()2(,)3,.(3)113,12141114rrrrAbrrbbbRARAbarrAba当a0且b1时,方程组有唯一解(2)当a=0时,增广矩阵()=则此时方程组无解当b=1时,()=21312311141114121402100~11130101~11141114,~000001/201~01/2010000()2(,)3,1114,~0rrarraarrAbRARAbAb当a=1/2时,()则此时方程组有无穷多解.当a=1时,()1000001()2(,)3,RARAb则此时方程组无解.