线性代数试题答案

第1页共7页枣庄学院2011——2012学年度第一学期《线性代数》课程试卷试卷A考试方式闭卷考试时间（120分钟）题号一二三四五总分得分一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、若n阶矩阵A的第一行的3倍加到第二行后得矩阵B,则不正确的是（）。(A)A与B等价；(B)A与B相似；（C）AB；(D)()()RARB。2、A和B均为n阶矩阵，且222()2ABAABB，则必有（）(A)AE；(B)BE；（C）AB.(D)ABBA。3、设A为n阶非奇异矩阵)2(n，A为A的伴随矩阵，则()(A)AAA11||)(；(B)AAA||)(1；(C)111||)(AAA；(D)11||)(AAA。4、A和B均为n阶矩阵且0AB，则必有（）。（A）,00BA或；（B）0BA；(C)00BA或；(D)0BA。二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、设,,,都是3×1矩阵,分块矩阵A,B,若A2,B3,则BA=。6、设矩阵18121321841812132baA为正交矩阵，则a，b。7、设403212221A，11a，若A与线性相关，则a＝。8、向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(a。三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算121212nnnaxaaaaxaDaaax；得分得分得分第2页共7页10、已知矩阵相似与,00030000300011011xBA（1）求x；（2）求可逆矩阵P，使得1PAPB。四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分）11、设向量组12,,,r线性无关，而12,,,,,r线性相关，但不能由12,,,,r线性表出，证明：可以由12,,,r线性表出，且表示法唯一．.12、如果2AE，则称A是对合矩阵。设A和B都为对合矩阵，则AB是对合矩阵的充分必要条件是ABBA得分第3页共7页五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分）13、设3223A，求1095AA。14、讨论取什么值时下列线性方程组有解，并求解．123123123111xxxxxxxxx得分第4页共7页15、设二次型222123123121323(,,)55266fxxxxxaxxxxxxx的秩为2。（1）、求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；（2）指出123(,,)1fxxx表示何种曲面。第5页共7页解答和评分标准一、选择题1、B；2、D；3、A；4、C。二、填空题5、20;6、13a，0b；7、-1；8、-9。三、计算题9、解：将所有列全加到第一列并提起公因子，得221211()1nnniinaaaxaDxaaax（4分）所有列减去第一列，得21100()00nniiaaxDxax11()nniixax11()nnniixax．（4分）10、解：（1）、由于A与B相似，则()()trAtrB。因为()5trA，()3trBx，则2x。（4分）（2）、因为B的特征值为2,3,0321，所以A的特征值为2,3,0321。当10时，它对应的特征向量为Ta)0,1,1(1当对于23时，它对应的特征向量为Ta)1,0,0(2当32时，它对应的特征向量为Ta)0,1,1(3。取123101,,101010Pa，则1PAPB。（4分）11、证明：（1）先证可以由12,,,r线性表出：因为12,,,,,r线性相关，所以存在不全为零的数122,,,rkkk，使得1122120rrrrkkkkk．由于不能由12,,,,r线性表出，故必有10rk，下证20rk．用反证法：若20rk，则11220rrkkk，由于122,,,rkkk不全为零，故12,,,rkkk不全为零，与12,,,r线性无关的假设矛盾，于是20rk，得到1212222rrrrrkkkkkk．（4分）（2）下证表示法唯一：设1122rrccc，1122rrlll，则11221122rrrrccclll，第6页共7页即111222()()()0rrrclclcl，由于12,,,r线性无关，故11220,0,,0rrclclcl，即iicl（1,2,,ir），于是表示法唯一．（4分）12、证明：A和B都为对合矩阵，则2AE，2BE。（1）、若AB是对合矩阵，则2()()EABABAB两边左乘A，右乘B，得22()ABABABBA。（4分）（2）、若ABBA，则222()()()ABABABAABBABEEE，所以AB是对合矩阵。（4分）13、解：由0EA，得A的特征值为11，25。（4分）11对应的特征向量为111，25对应的特征向量为211。因为12，则1与2正交。1与2单位化得11112p，21112p，取11221122P，则P是正交矩阵，且11005PAP。从而11005APP故11005kkAPP。（4分）下面计算10910911010115[5]2050511AAPP。（4分）14、解：系数行列式为21111(2)(1)11（3分）（1）、当1且2时，方程有唯一解。对增广矩阵111111111做初等行变换，得111222311111111111131112111111311121010210012311111002211010010221100100122，故得唯一解为12312xxx。（3分）第7页共7页（2）、当2时，增广矩阵211121111211121111210003，此时方程组无解。（3分）（3）当1时，增广矩阵111111111111000011110000，有无穷多组解。原方程组等价于1231xxx，其中23,xx为自由未知量。通解为12111010001kk，12,kk为任意数．（3分）15、解：设二次型222123123121323(,,)55266fxxxxxaxxxxxxx的矩阵为51315333Aa（2分）对A做初等行变换51315315302133003Aaa因为f的秩为2，则A秩也为2，从而3a。当3a时，容易计算(4)(9)EA，于是A的特征值为0，4，9。（6分）（2）存在正交变换112233xyxPyxy，其中P为正交矩阵，使得二次型在新的变量122,,yyy下成为标准形222349yy。于是曲面123(,,)1fxxx等价于2223491yy，它是一个椭圆柱面。（4分）