经典初中数学题

专题4几何证明【知识要点】1.进一步掌握直角三角形的性质，并能够熟练应用；2.通过本节课的学习能够熟练地写出较难证明的求证；3.证明要合乎逻辑，能够应用综合法熟练地证明几何命题。【概念回顾】1.全等三角形的性质：对应边（），对应角（）对应高线（），对应中线（），对应角的角平分线（）。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC：AC：AB=（）。【例题解析】【题1】已知在ΔABC中，108A，AB＝AC，BD平分ABC．求证：BC＝AB＋CD．【题2】如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ.【题3】如图，AD为ΔABC的角平分线且BDACFEBD＝CD．求证：AB＝AC.【题4】已知：如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD，证明AB=DE，AC=DF.【题5】已知：如图，△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求：∠APB的度数．【题6】如图：△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中ECDGABAPCB线，过C作CF⊥AE，垂足是F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D。（1）求证：AE=CD;（2）若AC=12㎝，求BD的长.【题7】等边三角形CEF于菱形ABCD边长相等.求证：（1）∠AEF=∠AFE(2)角B的度数【题8】如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B，求证：AB=AC+CD.【题9】如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求证：AF=21FC【题10】如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到A'B'CD'的位置，若∠B'CB=30度，求AE的长.【题11】AD,BE分别是等边△ABC中BC,AC上的高。M,N分别在AD,BE的延长线上，∠CBM=∠ACN.求证AM=BN.【题12】已知：如图，AD、BC相交于点O，OA=OD，OB=OC，点E、F在AD上，且AE=DF，∠ABE＝∠DCF.求证：BE‖CF.【巩固练习】【练1】如图，已知BE垂直于AD，CF垂直于AD，且BE=CF.（1）请你判断AD是三角形ABC的中线还是角平分线？请证明你的结论。（2）链接BF,CE，若四边形BFCE是菱形，则三角形ABC中应添加一个什么条件？OFEDCBA【练2】在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边上的一个动点，且PB=PD，DE垂直AC，垂足为E。（1）求证：PE=BO（2）设AC=3a，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式。【练3】已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD，BC的延长线叫MN与E、F求证∠DEN=∠F.【练4】如图，若C在直线OB上，试判断△CDM形状。【练5】已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形。求证：EF=2AD1、【练6】如图，等边三角形ABC的边长为2，点P和点Q分别是从A和C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P沿射线AB运动，Q点沿点C在BC延长线上运动。设PQ与直线AC相交于点D，作PE⊥AC于点E，当P和Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。【提示】【题1】分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD≌ΔBED．由已知可得：18ABDDBE，108ABED，36CABC．∴72DECEDC，∴CD＝CE，∴BC＝AB＋CD．【题2】分析：将ΔABF视为ΔADE绕Ａ顺时针旋转90即可．∵90FABBAEEADBAE．∴FBAEDA．又∵90FBAEDA，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF≌ΔADE．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．【题3】分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD≌ΔECD．∴ＥＣ＝ＡＢ．∵BADCAD．∴ECAD．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．【题4】本题比较简单，难点在BF+CF=CE+CF这，一般刚接触三角形证明的人会在这失手。证明：∵BF=CE又∵BF+CF=BCCE+CF=EF∴BC=EF∵AB∥DE，AC∥FD∴∠B=∠E，∠DFE=∠BCA又∵BF=CE∴△DEF≌△ABC（ASA）∴AB=DE，AC=DF【题5】顺时针旋转△ABP600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角形。所以∠APB=1500。【题6】解析：如果遇到这类题，有时在图形中隐藏着一些不明显的条件，你就先试试一个角加公共角等于90°，再试其它角加这个公共角是否能等于90°，能说明它俩相等。证明：（1）∵BD⊥BC，CF⊥AE∴∠DBC=∠ACB=∠EFC=90°∵∠D+∠BCD=90°∠FEC+∠BCD=90°∴∠D=∠FEC又∵∠DBC=∠ACE=90°，AC=BC∴△DBC≌△ACE（HL）∴AE=CD（2）由（1）可知△BDC≌△ACE∴BC=AC=12㎝，BD=CE∵AE是BC边上的中线∴BE=EC=12BC=6㎝∵BD=CE∴BD=6㎝【题7】解：∵CB=CE,CD=CF∴∠B=∠CEB，∠D=∠CFD∵∠B=∠D(菱形的对角相等）∴∠CEB=∠CFD∵∠CEF=∠CFE=60°∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°∠CED+∠CFE+∠AFE=180°∴∠AEF=∠AFE(2)设∠B=X,则∠A=180°—X，∠CEB=X∵∠AEF=∠AFE,∠A=∠AEF+∠AFE=180°∴(180°－X)+2∠AEF=180°∴∠AEF=X/2∵∠CEB+∠CEF+∠AEF=180°∴X+60°+X/2=180°∴X=80°∴∠B=80°【题8】解析：这种类型的题，一般是一条长的线段被分为两段，只能证AC、CD这两条线段与AB这条线段平分的两条线段AE、BE相等，从而证明出来。证明：∵∠AED是△EDB的一个外角又∵∠1=∠B∴∠AED=2∠B∴∠AED=∠C=2∠B∵AD是△ABC的角平分线∴∠CAD=∠DAE又∵∠AED=∠C，AD=DA∴△ACD≌△AED（AAS）∴AC=AE，CD=DE∵∠1=∠B∴DE=BE∴CD=BE∵AB=AE+BE又∵AC=AE，CD=BE∴AB=AC+CD【题9】解析：作CF的中点G，连接DG，则FG=GC又∵BD=DC∴DG∥BF∴AE∶ED=AF∶FG∵AE=ED∴AF=FG∴FCAF=21∴即AF=21FC【题10】提示：证明三角形ABD和三角形CAF全等。AEBD四点共圆。四边形EDCF是平行四边形。（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）【题11】证明：因为△ABC为等边三角形，AD垂直于BC、BE垂直于AC，所以∠BAM=∠CBN，又因为∠CBM=∠ACN所以∠ABM=∠BCN在△ABM和△BCN中，有AB=BC∠BAM=∠CBN∠ABM=∠BCN由三角形全等的判定ASA得△ABM和△BCN全等所以AM=BN【题12】分析：要证明BE‖CF，只要证明∠E＝∠F；已知∠ABE＝∠DCF，又由三角形的外角性质可知∠E＝∠BAO﹣∠ABE，∠F＝∠CDO﹣∠DCF，因此只要证明∠BAO＝∠CDO.