经济数学基础积分学之第2章定积分

经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——1——第一单元定积分的定义一、学习目标通过本节课的学习，了解定积分的概念．二、内容讲解定积分的定义：三、例题讲解例题1计算定积分10dxx．分析：利用定积分的定义，为计算方便，可将区间]1,0[等分．解：将区间]1,0[n等分，每个小区间的长度为n1，取i为每个小区间的右端点，得积分和ninni11经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——2——计算积分和得niniinnni121112)1(12nnn（等差数列求和公式．）n2121由此得21)2121(lim1lim1nnninnin由定积分的定义可知21d10xx第二单元N-L公式一、学习目标通过本节课的学习，理解并能熟练运用N-L公式．二、内容讲解1.N-L公式：若)(xF是)(xf的一个原函数，则babaxFaFbFxxf)()()(d)(简记为对于N-L公式作几点说明：①定积分是一个确定的数值，它不依赖于对原函数的选取，即:若)(xF,)(xG均为)(xf的原函数，则bababaxGxFxxf)()(d)(②在公式)()(d)(aFbFxxfba中如果把b换成x，就得到)()(d)(aFxFxxfxa由此结果看出，定积分和变上限x之间有确定的对应关系，这就是一个函数，即定积分可以看作积分上限的函数．在上式左端，积分上限x与积分变量x的含义是不同的．经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——3——再由等式右端可知xaxxfd)(是被积函数)(xf的一个原函数．③baxxfd)(与battfd)(完全一样，因为babababattftFxFxxfd)()()(d)(说明定积分与积分变量选取的字母无关．④由N——L公式可得abbattfxxfd)(d)(0d)(aaxxf三、例题讲解例1计算102dxx．解：因为2)(xxf，它的一个原函数为331)(xxF，得3131d103102xxx若将原函数换为231)(3xxF，同样得31)231(d103102xxx例2计算21dexx．解：因为xxfe)(，它的一个原函数为xxFe)(，得122121eeedexxx例3计算112dexx．解：cxxx2112e21de112112e21dexxx)e(e2122经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——4——例4计算2032d1xxx．解：cxxxx23332)1(92d1202332032)1(92d1xxxx952例5计算21dexxx．解：cxxxxxe)1(de2121e)1(dexxxxx2e例6计算e1dlnxx．解：cxxxx)1(lndlne1e1)1(lndlnxxxx1四、课堂练习与作业1．设xttxF02dsin)(，求)4(F.2．利用N-L公式计算下列定积分：（1）102dxx；（2）212dxx；（3）10de2xxx；（4）20dcosxxx.1．21；2.（1）31（2）1（3）)1e(21（4）12第三单元定积分的性质一、学习目标通过本节课的学习，不定积分的性质，熟悉定积分的直接积分法．经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——5——二、内容讲解1.先回顾不定积分的性质性质1.xxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([性质2.xxfkxxkfd)(d)(定积分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质．2.定积分的性质：性质1.bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([性质2.babaxxfkxxkfd)(d)(性质3.bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(证：设)(xF是)(xf的一个原函数，由N——L公式)()(d)(aFbFxxfba)()(d)(aFcFxxfca)()(d)(cFbFxxfbc)]()([)]()([d)(d)(cFbFaFcFxxfxxfbccabaxxfaFbFd)()()(这个性质对计算定积分是非常重要的．性质中的c可以在区间],[ba内，也可以在区间],[ba外．三、例题讲解例1计算02d)cos2(xxx．解：00202dcos2dd)cos2(xxxxxxx002dcos2dxxxx003sin231xx331经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——6——例2求20d1xx．解：1,11,11xxxxx211020d1d1d1xxxxxx2110d)1(d)1(xxxx2121022)1(2)1(xx12121四、课堂练习与作业1．计算下列定积分（1）21d1xx；（2）102d)2(xxx．2．设函数10,301,)(2xxxxxf，求11)d(xxf．1．（1）25（2）312ln12.37第四单元定积分的换元积分法一、学习目标通过本节课的学习，掌握定积分的换元积分法．二、内容讲解定积分换元积分法若babaxxuxufxxfd)())((d)(1且当ax时，u；当bx时，u．则uufxxfbad)(d)(1三、例题讲解例1计算21d131xx．经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——7——解：21d131xx21d)13(13131xxx21)13(d13131xx52d13113uuux52ln31u)2ln5(ln31例2计算1032d34xxx．解：令ux334，xxud9d21032d34xxx14)d91(uu14d91uu271432911423u例3计算)0(d022axxaa．分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平方．用三角公式替换．解：令taxsin，ttaxdcosd，且当0x时，0t；当ax时，2t．得axxa022d20222dcossinttataa2022dcostta202d)2cos1(2tta（三角公式22cos1cos2）4)2sin21(22202atta四、课堂练习计算下列不定积分：（1）e12dlnxxx；（2）202d4xxx．五、课后作业计算下列定积分：（1）2227dexx；（2）2121dexxx；（3）102d1xxx；经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——8——（4）32dln1xxx；（5）axx02d4.（1）)e(e7277（2）121ee（3）31（4）2lnln3lnln（5）第五单元定积分的分部积分法一、学习目标通过本节课的学习，掌握定积分的分部积分法．二、内容讲解1.不定积分分部积分公式：xuvuvxvudduvuvvudd2.定积分有类似的分部积分公式bababaxvuuvxvudd或bababauvuvvudd三、例题讲解例1计算21dexxx．解：2121d)e(dexxxxxx21211deexxxx例2计算e1dlnxx．解e1e1d)(lndlnxxxxxe1e1d1lnxxxxx1)1e(0e例3计算20d2sin3xxx．解：2020d)2cos21(3d2sin3xxxxxx2020d2cos232cos23xxx202sin4343x43经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——9——四、课堂练习设xxxxxF0dcos)(．试求（1）)(F；（2）)2()(FFF．变上限定积分是被积函数的一个原函数2d)()2()(xxFFF，)()d)((0xfttfx因为xxxxxxFxcos)dcos()(0，所以cos)(F．五、课后作业计算下列定积分：（1）312dexxx；（2）51dlnxx；（3）e13dlnxxx；（4）20d2cosxxx；（5）ee1dlnxx.（1）26e41e45；（2）45ln5；（3）)1(3e1614；（4）21；（5）e22.第六单元广义积分一、学习目标通过本节课的学习，了解无穷积分及收敛、发散的概念．二、内容讲解定积分是在有限区间],[ba上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，这就是广义积分：广义积分（或称无穷积分）ababxxfxxfd)(d)(limbbaaxxfxxfd)(d)(lim在上两个定义式中，若左端的极限存在，则称右端的无穷积分收敛；若左端的极限不存在，则称右端的无穷积分发散．三、例题讲解经济数学基础之一元函数积分学第2章定积分——10——例1计算广义积分12d1xx．解：12d1xxbbxx12d1limbbx1)1(lim1)11(limbb例2计算广义积分02dexx．解：02dexxbxbx02delimbxb02e21lim21)e1(21lim2bb例3计算广义积分0de2xxx．解：0de2xxx0delim2axaxx02)(de21lim2axax02e21limaxa21)e(121lim2aa四、课堂练习计算下列广义积分积分：（1）022de3xxx；（2）132d1xx．对于无穷积分axxfd)(，先求baxxfd)(，再求babxxfd)(lim，若此极限存在，它就是所求的积分值．若此极限不存在，则axxfd)(发散．利用凑微分法bxbxxxx032022)3(dede33五、课后作业求下列广义积分：（1）0de2xxx；（2）12dlnxxx；（3）4d1xx．（1）21；（2）1；（3）发散