经济数学基础线性代数之第3章线性方程组

经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——1——第一单元线性方程组的表达一、学习目标了解线性方程组的表示方法及线性方程组的基本概念二、内容讲解线性方程组的一般表示mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111方程数目为m，未知量个数为n.下面举一个例子.例:用矩阵形式表示方程组165443321321xxxxxx解:将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵11654143A，n＝3，m＝2系数矩阵165143A，未知数矩阵321xxxX，常数矩阵14b线性方程组用矩阵表示为bAX即165143321xxx14线性方程组三种表示形式11654143AbAX问题思考：若一个线性方程组中某些未知量的系数是0，那么增广矩阵如何填写该位置的元素？答案填写0.经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——2——三、例题讲解例1将线性方程组43502515432131321321xxxxxxxxxxx改写成矩阵的形式.解：增广矩阵4315010121511154A系数矩阵315101151154A常数矩阵4021b线性方程组的矩阵表示为315101151154321xxx＝4021例2若已知矩阵500101111231021A表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量.（2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的个数，故有3个方程.（3）最后一行代表的方程是50004321xxxx即52x例3，线性方程组bAX，矩阵A是4×6矩阵，矩阵b是4×1矩阵，问这个方程组有几个未知量？有几个方程？解:有6个未知量，有4个方程.四、课堂练习练习写出下列线性方程组的增广矩阵，并写出矩阵表达形式.经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——3——148202254321431421xxxxxxxxxx写线性方程组的增广矩阵时，必须将每一个未知量前的系数及常数项都写出，若某个未知量在某个方程中没有出现，表明系数为0，也必须写上0.写出增广矩阵148210120251011五、课后作业将下列方程组写成矩阵形式：(1)2423325232132121xxxxxxxx；(2)4652652652651655454343232121xxxxxxxxxxxxx(1)235423211012321xxx；(2)12221650006510006510006510006554321xxxxx第二单元消元法一、学习目标熟练掌握求线性方程组一般解的消元法，掌握求线性方程组的特解.二、内容讲解例：若一个线性方程组的增广矩阵为220021101112A，求方程组的解.解:从最后一行开始，得223x，13x第二行表示的方程是232xx，322xx3)1(2经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——4——第一行表示的方程是12321xxx，23)1(21321xxx方程组的解为1323321xxx归纳：当线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵时，可以从最后一行开始，用逐步回代的方法求得线性方程组的解.比较增广矩阵与线性方程组作初等行变换的关系增广矩阵线性方程组互换两行的位置互换两个方程用一非0常数乘某行用一非0常数乘某个方程将一行的倍数加至另一行上将一个方程乘以一个常数，加到另一个方程上结论：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，不改变线性方程组的解.消元法：用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵；从阶梯形矩阵的最后一行开始，用逐步回代的方法求解.这种解线性方程组的方法就叫消元法。问题：若一个线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵后，若最后一个非0行：（1）出现了“000020”行，该方程组有解吗？（2）出现了“000002”行，该方程组有解吗？答案（1）有解，因为这个方程代表了方程02000054321xxxxx，所以05x；（2）无解.三、例题讲解例1解线性方程组442137432423323524321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx解:增广矩阵经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——5——414211374324121332352A3235213743241213414215451055470841450414213324390030233900545104142131000302339005451041421它所对应的方程组就是33023395454424434324321xxxxxxxxxx这种形式的方程组称为阶梯形方程组.用回代的方法求出方程组的解为31214321xxxx例2解线性方程组6324221321321321xxxxxxxxx解：增广矩阵为631242211111A413031301111100031301111因为最后一行表示的方程是1000321xxx，所以原方程组无解.例3解线性方程组332222143143214321xxxxxxxxxxx解将增广矩阵化成阶梯形矩阵经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——6——331022221111111A113201132011111000001132011111第二行表示的方程是132432xxx，432212321xxx第一行表示的方程是14321xxxx，43211xxxx43232123xx原方程组的解为432431212321232123xxxxxx等号右边的未知量43,xx称为自由未知量，用一组自由未知量表示其它解的形式称为线性方程组的一般解，含有自由未知量的线性方程组有无穷多解.将阶梯形矩阵继续化简，化成行简化阶梯形矩阵：000001132011111A000002121231011111000002121231023232101定义：阶梯形矩阵如果具有下列特点，则称为行简化阶梯形矩阵：（1）每行的首非0元素都为1；（2）每行的首非0元素所在的列其余元素都为0.所以上述方程组的一般解为432431212321232123xxxxxx（其中43,xx为自由未知量）四、课堂作业练习解线性方程组经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——7——148202252432143214321xxxxxxxxxxxx写线性方程组的增广矩阵时，必须将每一个未知量前的系数及常数项都写出，若某个未知量在某个方程中没有出现，即系数为0，也必须写上0.这是一个由3个方程4个未知量组成的线性方程组.将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵.若出现“00…0d”（d≠0〕行，则线性方程组无解，否则线性方程组有解.在有解的情况下，将阶梯形矩阵化成行简化阶梯形矩阵，从中求出线性方程组的唯一解或一般解.写出增广矩阵A112152121012841五、课后作业1．已知线性方程组bAX的增广矩阵经初等行变换化为阶梯形矩阵0000001251001831203536121求方程组的解.2.用消元法解下列线性方程组：(1)1512432734452873321321321321xxxxxxxxxxxx；(2)113254236532432143214321xxxxxxxxxxxx(3)11635194912439325432142143214321xxxxxxxxxxxxxxx；(4)161211394223411210551324321xxxx3.解下列齐次线性方程组：023025303425432143214321xxxxxxxxxxxx经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——8——1．1251332543542541xxxxxxxxx(54,xx是自由未知量)2.（1）125321xxx（2）43432431,(43xxxxxxxx是自由未知量)（3）4324312171221791xxxxxx(其中21,xx是自由未知量)（4）434241312321353xxxxxx(其中4x是自由未知量)3.（1）434241413341104155xxxxxx(其中4x是自由未知量)第三单元线性方程组解的情况判定一、学习目标理解线性方程组有解判定定理，熟练掌握线性方程组解的情况判定方法二、内容讲解在这一节里我们关心的问题是，一个线性方程组究竟是有解，还是无解？如果有解，是有一个解，还是有无穷多个解？我们先来讨论齐次线性方程组.先介绍什么叫齐次线性方程组.称0AX为齐次线性方程组，)0(bbAX为非齐次线性方程组经济数学基础之线性代数第3章线性方程组——9——1.关于齐次线性方程组0AX解的情况：(1)0AX总有解，至少有一个0解；(2)0AX在什么条件下只有0解？在什么条件下有非0解？结论：A——nm矩阵当秩nA)(时，0AX有非0解;当秩nA)(时，0AX只有0解.下面结合前面讲过的例子来分析齐次线性方程组解的情况.例3解线性方程组05003231321321xxxxxxxx解增广矩阵化成阶梯形矩阵050101110321A000004100321线性方程组的一般解为323145xxxx（3x是自由未知量）结论：A——nm矩阵当秩nA)(时，0AX有非0解，当秩nA)(时，0AX只有0解.下面我们要讨论关于线性方程组解的第二个问题：非齐次线性