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当前位置:首页 > 建筑/环境 > 工程监理 > 经济数学基础讲义第5章定积分
1第2章定积分2.1定积分的概念和性质例计算定积分10dxx.2分析:利用定积分的定义,为计算方便,可将区间]1,0[等分.解:将区间]1,0[n等分,每个小区间的长度为n1,取i为每个小区间的右端点,得积分和ninni11,计算积分和得niniinnni121112)1(12nnn(等差数列求和公式.)n2121由此得21)2121(lim1lim1nnninnin由定积分的定义可知21d10xx2.1.3牛顿—莱布尼兹公式:若)(xF是)(xf的一个原函数,则babaxFaFbFxxf)()()(d)(简记为对于N-L公式作几点说明:①定积分是一个确定的数值,它不依赖于对原函数的选取,即:若)(xF,)(xG均为)(xf的原函数,则bababaxGxFxxf)()(d)(②在公式)()(d)(aFbFxxfba中如果把b换成x,就得到)()(d)(aFxFxxfxa例1计算102dxx.解:因为2)(xxf,它的一个原函数为331)(xxF,得3131d103102xxx若将原函数换为231)(3xxF,同样得31)231(d103102xxx例2计算21dexx.解:因为xxfe)(,它的一个原函数为xxFe)(,得122121eeedexxx例3计算112dexx.解:cxxx2112e21de,112112e21dexxx)e(e2122例4计算2032d1xxx.3解:cxxxx23332)1(92d1,202332032)1(92d1xxxx952例5计算21dexxx.解:cxxxxxe)1(de,2121e)1(dexxxxx2e例6计算e1dlnxx.解:cxxxx)1(lndln,e1e1)1(lndlnxxxx12.1.4定积分的性质先回顾不定积分的性质性质1.xxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([性质2.xxfkxxkfd)(d)(定积分与原函数有着密切的关系,显然定积分也有类似的性质.定积分的性质:性质1.bababaxxgxxfxxgxfd)(d)(d)]()([性质2.babaxxfkxxkfd)(d)(性质3.bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(证:设)(xF是)(xf的一个原函数,由N-L公式)()(d)(aFbFxxfba)()(d)(aFcFxxfca)()(d)(cFbFxxfbc)]()([)]()([d)(d)(cFbFaFcFxxfxxfbccabaxxfaFbFd)()()(这个性质对计算定积分是非常重要的.性质中的c可以在区间],[ba内,也可以在区间],[ba外.性质3.bccabaxxfxxfxxfd)(d)(d)(证:设)(xF是)(xf的一个原函数,由N-L公式)()(d)(aFbFxxfba)()(d)(aFcFxxfca)()(d)(cFbFxxfbc4)]()([)]()([d)(d)(cFbFaFcFxxfxxfbccabaxxfaFbFd)()()(这个性质对计算定积分是非常重要的.性质中的c可以在区间],[ba内,也可以在区间],[ba外.例1计算02d)cos2(xxx.解:00202dcos2dd)cos2(xxxxxxx002dcos2dxxxx003sin231xx331例2求20d1xx.解:1,11,11xxxxx211020d1d1d1xxxxxx2110d)1(d)1(xxxx2121022)1(2)1(xx121212.2.1换元积分法定积分换元积分法若babaxxuxufxxfd)())((d)(1,且当ax时,u;当bx时,u.则uufxxfbad)(d)(1例1计算21d131xx.解:21d131xx21d)13(13131xxx21)13(d13131xx52d13113uuux52ln31u)2ln5(ln31例2计算1032d34xxx.解:令ux334,xxud9d21032d34xxx14)d91(uu14d91uu271432911423u5例3计算)0(d022axxaa.分析:设法去掉被积函数的根号,将根号下的表达式用变量替换变成完全平方.用三角公式替换.解:令taxsin,ttaxdcosd,且当0x时,0t;当ax时,2t.得axxa022d20222dcossinttataa2022dcostta202d)2cos1(2tta(三角公式22cos1cos2)4)2sin21(22202atta2.2.2分部积分法不定积分分部积分公式:xuvuvxvudduvuvvudd定积分有类似的分部积分公式bababaxvuuvxvudd或bababauvuvvudd例1计算21dexxx.解:2121d)e(dexxxxxx21211deexxxx2212eeee2x例2计算e1dlnxx.解:e1e1d)(lndlnxxxxxe1e1d1lnxxxxx1)1e(0e例3计算20d2sin3xxx.解:2020d)2cos21(3d2sin3xxxxxx2020d2cos232cos23xxx202sin4343x432.3广义积分定积分是在有限区间],[ba上讨论的积分问题,但有的积分问题需要在无穷区间上讨论,这就是广义积分(或称无穷积分):ababxxfxxfd)(d)(limbbaaxxfxxfd)(d)(lim在上两个定义式中,若左端的极限存在,则称右端的无穷积分收敛;若左端的极限不存在,则称右端的无穷积分发散.6例1计算广义积分12d1xx.解:12d1xxbbxx12d1limbbx1)1(lim1)11(limbb例2计算广义积分02dexx.解:02dexxbxbx02delimbxb02e21lim21)e1(21lim2bb例3计算广义积分0de2xxx.解:0de2xxx0delim2axaxx02)(de21lim2axax02e21limaxa21)e(121lim2aa
本文标题:经济数学基础讲义第5章定积分
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