经济数学基础讲义第8章行列式

1第1章行列式1.1行列式的定义什么叫做行列式呢？譬如，有4个数排列成一个行方块，在左右两边加竖线。即2153称为二阶行列式；有几个概念要清楚，即上式中，横向称行，共有两行；竖向称列，共有两列；一般用ija表示第i行第j列的元素，如上例中的元素：311a，512a，121a，222a．075423011称为三阶行列式，其中第三行为5-70第二列为–12-7，元素423a，531a又如0100321403011320是一个四阶行列式．行列式表示的是其元素之间一种特定计算．再有一个概念是行列式中一个元素的余子式.如三阶行列式075423011，它的第一行第一列元素11a的余子式即为划去该元素所在行、所在列，剩下元素所构成的低一阶的行列式074211M，同理430132M，07421111111MA，代数余子式就是在余子式前适当加正负号，正负号的规律是-1的指数是该元素的行数加列数．例：计算三阶行列式542303241D分析：按照行列式的递归定义，将行列式的第一行展开，使它成为几个二阶行列式之和，二阶行列式可以利用对角相乘法，计算出结果．2解：5233145430112111D4203123172122941211.2行列式的性质用定义计算行列式的值有时是比较麻烦的，利用行列式的性质能够使计算变的比较容易了．行列式的性质有七条，下面讲一讲几条常用的性质．在讲这些性质前，先给出一个概念：把行列式D中的行与列按原顺序互换以后得到的行列式，称为D的转置行列式，记为TD．如987654321D，963852741TD1．行列式的行、列交换，其值不变．如264536543这条性质说明行列式中，行与列的地位是一样的．2．行列式的两行交换，其值变号．如243656543，dcbadcba333注意：一个行列式与一个数相乘，等于该数与行列式的某行（列）的元素相乘．4．行列式对行的倍加运算，其值不变．如倍加运算就是把一行的常数倍加到另一行上例1计算行列式dcba675081004000.分析：利用性质6，行列式可以按任一行（列）展开．本题按第一行逐步展开，计算出结果．解：dcba675081004000=dcab60=abcd我们将行列式中由左上角至右下角的对角线，称为主对角线．如例1中，行列式在主对角线以上的元素全为零，则称为下三角行列式．由例1的计算过程，可得这样规律：下三角行列式就等于主对角线元素的积．同理，主对角线以下元素全为零的行列式，则称为上三角行列式，且上三角行列式也等于主对角线元素之积．今后，上、下三角行列式统称为三角行列式．3例2计算行列式4977864267984321分析：原行列式中第三行的元素是第一行的2倍，因此，利用行列式的倍加运算（性质5），使第三行的元素都变为0，得到行列式的值．解：=0通过此例可知，行列式两行成比例，则行列式为零．例3计算行列式2211132011342211分析：利用行列式的倍加运算（性质5），首先将某行（列）的元素尽可能化为0，再利用行列式可以按任一行（列）展开的性质（性质6），逐步将原行列式化为二阶行列式，计算出结果．解：2211132011342211==1.3行列式的计算行列式=按任何一行（列）展开下面用具体例子说明．dcba=bcad1156)1(5232153一个具体的行列式就是代表具体的一个数．再看一个三阶行列式．075423011可以按任何一行（列）展开4按第一行展开=752300543107421=02028=8按第三列展开=231107511475230=0)57(40=8注意：1．行列式计算一般按零元素较多的行（列）展开．2．代数余子式的正负号是有规律的，一正一负相间隔．例：计算行列式0214200131000211分析：由性质6可知，行列式可以按任何一行（列）展开来求值．因为第二、三行，第四列的零元素都较多，所以可选择其一展开，再进一步将其展成二阶行列式，并计算结果．解：按第三行展开0214200131000211=214100211)1(2021315021)1(14313=1411)1()1(22121)1(33232=10)41(2)22(31.4克拉默法则设n个未知数的线性方程组为nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（1）记行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211称为方程组（1）的系数行列式．将D中第j列的元素njjja,,a,a21分别换成常数nb,,b,b21而得到的行列式记作jD．克拉默法则如果线性方程组（1）的系数行列式0D，那么它有惟一解DDxDDxDDxnn,,,2211（2）5证将（2）式分别代入方程组（1）的第i个方程的左端的nxxx,,,21中，有DDaDDaDDaninii2211（3）将（3）中的jD按第j列展开，再注意到jD中第j列元素的代数余子式和D中第j列元素的代数余子式ijA是相同的，因此有),,2,1(2211njAbAbAbDnjnjjj（4）把（4）代入（3），有DDaDDaDDaninii22111121211111nniiiAbAbAbAbaD222221212nniiiAbAbAbAba+…nnnininninAbAbAbAba2211把小括弧打开重新组合得inninnininininiiiiininiininiibAaAaAabAaAaAabAaAaAabAaAaAabD2211221122222112112211111因由性质6和性质7kiDkiAaAaAakninkiki02211故上式等于ib，即ininiibDDaDDaDDa2211下面再证明方程组（1）的解是惟一的．设nncxcxcx,,,2211为方程组（1）的任意一组解．于是nnnnnnnnnnbcacacabcacacabcacaca22112222212111212111（5）用jA1，jA2，…jnA分别乘以（5）式的第一、第二、…、第n个等式，再把n个等式两边6相加，得11221111)(cAaAaAanjnjjjnjnjjjjjcAaAaAa)(2211nnjnnjnjncAaAaAa)(2211njnjjAbAbAb2211根据性质6和性质7，上式即为),,2,1(njDcDjj因为0D，所以),,2,1(njDDcjj证毕克拉默法则有以下两个推论：推论1如果齐次线性方程组的系数行列式0D，那么它只有零解．推论2齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式0D．例：利用克拉默法则解下列方程组7526432121xxxx分析：这是一个两个变量、两个方程的方程组，它满足了克拉默法则一个条件．克拉默法则的另一个条件是要求系数行列式的值不等于零．因此，先求出方程组的系数行列式的值，若它的值不等于零，说明该方程组有惟一解，然后求常数项替代后的行列式的值，再用克拉默法则给出的公式求出解．解：因为系数行列式24535243D07815且257461D，972632D所以7211DDx，7922DDx