经济数学第四章第一节

电子工业出版社《高等数学》教材第四章不定积分11本章知识点及教学目标1.理解原函数和不定积分的概念.2.掌握不定积分的基本公式.3.掌握不定积分的换元积分法和分部积分法.4.了解微分方程的概念，会解简单的一阶微分方程.第四章不定积分前面讨论的函数的导数、微分及其应用统称为微分学．从本章开始我们将讨论函数的积分学．积分学包括一元函数积分和多元函数积分两部分．本章讨论不定积分的概念、性质和基本的积分方法．第一节不定积分的概念与性质求已知函数的导数是研究函数的变化率问题，但在许多实际问题中，常常需要研究相反的问题，就是由一个函数的已知导数（或微分），求出这个函数．这种由函数的已知导数（或微分），去求原来的函数的问题，是积分学的基本问题之一——求不定积分。4.1.1原函数与不定积分例如，已知质点的运动速度是时间t的函数)(tvv，求该质点的运动方程()sst，使得()()stvt．这就是一个与微分学中求导数相反的问题。这类问题用数学语言来叙述，就是已知函数的导数（或微分），求原来的函数．定义4.1设函数()fx是定义在区间(,)ab内的已知函数，若存在一个函数()Fx，使得该区间内每一点x，总有()()Fxfx或dFxfxdx()()成立，则称函数Fx()为已知函数fx()在区间(,)ab内的一个原函数．例如,在区间(,)内，已知()2fxx，由于2()Fxx满足2()2xx,所以2()Fxx是()2fxx的一个原函数。同理，21x、25x都是2x的原函数。所以2x的原函数不是唯一的．关于原函数，我们需要说明两点：第一，原函数的存在问题定理4.1如果fx()在区间(,)ab内连续，则其原函数一定存在（将在后一章电子工业出版社《高等数学》教材第四章不定积分22证明）．第二，原函数的一般表达式前面已指出,若fx()存在原函数，原函数不是唯一的，那么，这些原函数之间有什么关系？能否用一个统一的式子表示？定理4.2若Fx()为fx()的一个原函数，则FxC()是fx()的全体原函数，其中C为任意常数．证由于()()Fxfx，又[()]()()FxCFxfx，所以FxC()为fx()的原函数．设Gx()为fx()的任一个原函数，而()()Gxfx，又[()()]()()0GxFxGxFx所以，GxFxC()()即GxFxC()()（其中C为任意常数）．从而就证明了fx()的全体原函数为FxC()．定义4.2函数fx()的全体原函数，称为fx()的不定积分.记为fxdx()其中“”称为积分符号，x称为积分变量,fx()称为被积函数，fxdx()称为被积表达式．若Fx()是fx()的一个原函数，则由定义得fxdxFxC()()(C为任意常数)．“C”称为积分常数。因此，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数再加上任意常数．例1求下列不定积分.（1）34xdx（2）cosxdx解（1）因为43()4xx，所以x4为43x的一个原函数，因此434xdxxC（2）因为(sin)cosxx，所以cossinxdxxC4.1.2不定积分的性质不定积分integral被积函数integrand积分变量variable0fintegration注意:求()fxdx时，切记要加“C”，否则求出的只是一个原函数，而不是不定积分．电子工业出版社《高等数学》教材第四章不定积分33性质1求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算.(1)[()]()fxdxfx或dfxdxfxdx[()]()(2)FxdxFxC'()()或dFxFxC()()性质2被积函数中不为零的常数因子，可以移到积分号的前面．即()()kfxdxkfxdx(k为常数且k0)性质3两个函数代数和的不定积分，等于函数不定积分的代数和．即[()()]fxgxdx=()()fxdxgxdx以上三个性质很容易证明，只要验证右端函数的导数等于左端的被积函数即可．读者不难做出证明。4.1.3基本积分公式由于求不定积分是求导的逆运算，所以由基本导数公式可以相应地得到下列基本积分公式:(1)kdxkxC(k为常数)(2)111xdxxC(1)(3)1xdxxCln(4)1lnxxadxaCa(01)aa且(5)edxeCxx(6)sincosxdxxC(7)cossinxdxxC(8)2sectanxdxxC(9)2csccotxdxxC(10)sectansecxxdxxC(11)csccotcscxxdxxC(12)21arctan1dxxCx注意：积分与求导(或微分)互为逆运算可以理解为在允许相差一个常数意义下的逆运算.注意：性质3可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况.电子工业出版社《高等数学》教材第四章不定积分44(13)112xdxxCarcsin利用不定积分的性质和基本积分公式，可以求一些简单函数的不定积分．例2求(sin)222xxxxdx.解(sin)222xxxxdx22sin2xdxxdxxxdx521422cosln25xxx+C例3求()()xxxdx11.解首先将被积函数()()xxx11化为和式，然后再逐项积分，得()()xxxdx11321(1)xxdxx5122221252xxxxC例4求1122xxdx().解1122xxdx()22221(1)xxdxxx22111dxdxxx1arctanxCx例5求2cos2xdx.注意:在分项积分后，不必每一个积分都加C，只要在总的结果中加C就行了．电子工业出版社《高等数学》教材第四章不定积分55解cos2xdx1cos2xdx11cos22dxxdx11sin22xxC4.1.4不定积分的几何意义由于函数fx()的不定积分中含有任意常数C，因此对每一个给定的C，都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，称为fx()得积分曲线.因为C可以取任意值，因此不定积分()fxdx()FxC表示fx()的积分曲线族()FxC．由于()()Fxfx，因此在积分曲线族上对应于同一横坐标0xx处有相同的斜率0()fx，所以对应于这些点出，他们的切线互相平行，任意两条曲线的纵坐标之间相差一个常数。所以积分曲线族()FxC中每一条曲线都可以由曲线()yfx沿y轴方向上、下移动而得到（如图4.1.1）.例6已知曲线在任一点处的斜率为x2．且曲线过(0，1)点，求曲线的方程．解设曲线方程为yfx()，因为dydxx2则yxdxxC2313又曲线过(0，1)点，代入得1C，所以曲线方程为yx1313练习4.11.试述原函数与不定积分有什么关系？2.试验证下列各等式成立.图4.1.1电子工业出版社《高等数学》教材第四章不定积分66（1）341(1)4xdxxxC（2）2ln1ln2xdxxCx（3）22arctan1xdxxxCx3．一曲线通过点(e23,)，且在任一点处的切线斜率等于该点横坐标的导数，求该曲线方程。4．一物体由静止开始作直线运动，在t秒末的速度为32t（米/秒）问：（1）经过3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体与出发点的距离为360米时经过多少时间？5.求下列不定积分.（1）xxdx（2）()xdx221（3）2(1)xdxx（4）()312122xxdx（5）3(2332)xxxdx（6）2sin2xdx