结构力学[第六章位移法和力矩分配法]课程复习

第六章位移法和力矩分配法一、基本内容及学习要求本章内容包括：位移法的基本概念，位移法基本未知量的确定，位移法的计算步骤和示例，位移法的典型方程，力矩分配法的基本概念，力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架，超静定结构的受力分析和变形特点等。重点是位移法的基本原理及用位移法计算刚架，力矩分配法的基本原理和计算方法。位移法是解算超静定结构的基本方法之一，力矩分配法是由位移法演变出来的常用渐进解法。通过本章学习应达到：(1)掌握位移法的基本原理，准确判定位移法的基本未知量。(2)灵活应用等截面单跨超静定梁的转角位移方程[教材式(5—3)～(5—6)]或表5—1，确定各种外因影响下的杆端弯矩和杆端剪力。(3)熟练掌握位移法计算超静定梁和刚架的方法及步骤。对照力法典型方程，加深对位移法典型方程的理解。(4)掌握力矩分配法的计算原理和步骤，会计算连续梁和无结点线位移刚架。(5)初步了解超静定结构的受力特点和变形性能。根据不同结构选择合理的计算方法。二、学习指导(一)位移法的解题思路§6—l以两跨连续梁为例说明了位移法的解题思路：(1)把超静定结构转化为由单跨超静定梁构成的组合体，用后者代替前者计算。(2)利用单跨梁已知的转角位移方程，应用变形协调条件，建立结点位移与单跨梁杆端内力问的关系。(3)根据组合体与原结构受力一致应满足的平衡条件，建立以结点位移为基本未知量的位移法方程。(4)解方程求出结点位移，进而计算单跨梁的杆端内力。教材§6—3以示例阐明了位移法的计算步骤和实际应用。此外，教材§6—4介绍了建立位移法方程的另一途径，即首先选取基本结构，然后根据基本结构受力和变形应与原结构一致的条件建立位移法典型方程，求出其系数和自由项，同样解方程求得结点位移并绘出最后弯矩图。其实，两种方式本质完全相同，只是建立方程的途径不同而已。针对图6．1a所示刚架的计算过程，可做如下扼要对比(表6．1)。(二)位移法的基本未知量与基本结构教材§6—2对位移法的基本未知量已做介绍，§6—4又讲到基本未知量和附加约束的关系。现将两者联系起来予以说明，请读者细心领会。(1)刚结点的角位移是独立基本未知量，因而刚结点上必须加入附加刚臂予以固定；独立的结点线位移也是基本未知量，故需用附加链杆加以控制。基本未知量与附加约束的数目相等且具有一一对应的关系。如图6．1a所示刚架具有一个结点角位移和一个结点独立线位移，相应就应加上一个附加刚臂和一根附加链杆(图6．1b)。在确定基本未知量的同时，基本结构也随之确定。(2)讨论结点独立线位移时引用了两个假定：受弯直杆忽略轴向变形和剪切变形的影响，杆件变形是微小的。即认为直杆变形后轴线长度不变且弦长近似等于弧长，于是得出受弯直杆在变形后两端距离保持不变的结论，称之杆长不变假定。位移法和力矩分配法都引用这一假定，从而减少了结点独立线位移的数目。(3)位移法着眼把原结构的所有杆件化为单跨超静定梁。教材表5-1已给出三种单跨超静定梁的杆端内力，只要将杆件化为其中的一种，就能用最少的基本未知量(或附加约束)求解。如图6．2a所示刚架在外因影响下刚结点2、6发生角位移，故应分别加入附加刚臂，柱顶产生的水平位移相同，只需在横梁端部加入一根水平链杆。这样杆56和12变成两端固定梁，杆24、34、64成为一端固定一端铰支梁，结点4无需加入附加刚臂，其基本结构(图6．2b)共有3个基本未知量。同理，图6．3a所示刚架在结点B加入附加刚臂后，杆AB成为两端固定梁，杆BC成为B端固定C端定向支承梁，支座C无需再加竖向附加链杆，其基本结构(图6．3b)只有结点B的角位移一个基本未知量。又如图6．4a所示横梁抗弯刚度为无穷大的刚架，横梁不发生任何变形(相当于刚片)只有三个运动自由度，而AC、BD两杆与基础相连使C、D两点不能沿竖向运动，横梁只剩下一个沿CD方向发生平移的自由度。位移法仅有这个基本未知量，横梁端部加入水平链杆即得基本体系如图6．4b所示。此时横梁虽无变形，内力却依然存在，这是需要注意的。(4)杆长不变假定只适用于受弯直杆，不适用于受弯曲杆和折杆。如图6．5a所示锯齿形刚架的位移法基本结构如图6．5b所示，基本未知量为7个(3个角位移、4个独立线位移)。这种外因影响下柱顶水平间距发生改变的结构称为跨变结构。这一假定也不适用于桁架及组合结构中需考虑轴向变形的二力杆。如图6．6a所示桁架结点1受荷载作用时，各杆承受轴力并产生轴向变形，结点1发生水平和竖向线位移，其基本结构如图6．6b所示。(三)位移法典型方程的物理意义教材§6—4以刚架为例，说明了利用基本体系附加约束上反力偶(反力)为零的条件建立位移法典型方程的过程，以下着重解释位移法典型方程及其系数和自由项的物理意义。图6．7a所示刚架的基本体系如图6．7b所示，未知量为一个结点角位移和一个结点独立线位移。当基本结构承受原结构荷载并使附加约束发生与原结构相同的位移时，则其受力和变形情况(图6．7c)便与原结构(图6．7a)一致。进而这一思路还可分为两步理解。第一步，加入附加约束，使各杆变为单跨超静定梁，承受荷载时(图6．7d)的杆端力即为固端力(可由教材表5—1得到)，这一步称为固定过程。此时杆端内力相互间不会平衡，如结点1的其中第一式表明基本结构在荷载、角位移Z1和线位移Z2的共同作用下，附加约束1(即结点1的附加刚臂)上的总反力偶R1等于零，这实际上反映了结点1的力矩平衡条件。从图c取出结点1作隔离体(图6．8a所示，只考虑力矩平衡未绘其他内力)，由∑M1=0有R1=M12+M13=0这就是结点l杆端弯矩间的力矩平衡条件。同理，第二式表明基本结构在荷载、Z1和Z2共同作用下附加约束2(即结点2的附加链杆)上的总反力R2等于零，它反映的是原结构柱顶剪力间的平衡条件(横梁的隔离体见图6．8b，只考虑剪力平衡未绘其他内力)，由∑Fr=0有R2=FQ13+FQ24=0称为层间剪力平衡条件。典型方程中的每一个都代表一个平衡条件，这与直接建立位移法方程也是一致的。(四)位移法与力法的比较两种方法(均采用典型方程)的共同点：通过综合应用静力平衡、变形协调及物理关系这三个方面的条件，使各自基本体系与原结构的变形和受力情况一致，再分别利用基本结构建立典型方程解算原结构。两种方法的不同点：(1)基本未知量。力法以结构的多余力为基本未知量，多余力的数目等于其超静定次数；位移法以结点的独立位移(包括角位移和线位移)为基本未知量，与结构的超静定次数无关。(2)基本结构。力法以去掉多余约束得到的静定结构作为基本结构，同一原结构可选取多种不同的基本结构；位移法对原结构增加附加约束，以所得的单跨超静定梁组合体作为基本结构，对于同一原结构一般只有一种选择。(3)建立方程的依据。力法以基本体系在去掉多余约束处的位移应与原结构相同的位移条件建立力法典型方程，实质是几何方程；位移法以基本体系附加约束上的总反力偶(总反力)应等于零的平衡条件建立位移法典型方程，实质是静力平衡方程。(4)系数和自由项的物理意义。力法的系数和自由项是其基本结构沿多余力方向的位移；位移法的系数和自由项是其基本结构附加约束处的反力偶(反力)。应当指出，力法只用来求解超静定结构，而位移法则因基本未知量与结构是否静定无关，故可同时用于求解静定和超静定结构。不过手算时静定结构的内力用静力平衡条件即可求解，因而位移法仅用于超静定结构，特别是采用杆长不变假定时梁和刚架的计算。但机算通常并不区分结构静定还是超静定，而是着眼于编制通用程序自行计算，故以位移法为基础的矩阵位移法在机算中得到广泛应用。(五)力矩分配法与位移法的关系对于只有一个角位移未知量的结构，力矩分配法可除如教材所述从结点弯矩的分配与传递推演外，还可由位移法导出。以下进一步说明力矩分配法与位移法的关系。(1)两者均需以附加刚臂使刚结点固定。在固定状态与原结构的差别上，力矩分配法着眼于刚结点所受不平衡力偶MF的作用，位移法则强调刚结点未发生原结构的实际角位移Z1。(2)为使固定状态与原结构受力和变形一致，力矩分配法在刚结点添加反向不平衡力偶(-MF)，从受力一致出发使两者变形相同，位移法则让刚结点发生实际位移Z1，着眼变形相同促使同样受力。当基本结构受-MF作用时结点发生实际角位移Z1，结点转动Z1时附加刚臂产生的反力偶大小等于-MF，两者是一致的。在给定外因作用下，结构对应确定的受力和变形状态。力矩分配法与位移法只是分别从受力和变形出发实现与原结构的一致，两种方法实质是相通的。计算具有两个或两个以上未知角位移的结构，力矩分配法与位移法在固定状态都是先控制刚结点角位移以计算固端弯矩。放松状态不同之处在于：位移法同时放松各结点的附加刚臂，使其发生实际角位移以与原结构变形一致；力矩分配法则依次在各结点叠加反向不平衡力偶，使其受力情况逐渐接近真实的平衡状态。随计算轮次(全部结点依次分配传递一个循环称为一轮)增加，传递弯矩和不平衡力偶的绝对值越来越小，所以力矩分配法属于渐近法。