5导数及其应用(单调性极值与最值)

3-1补讲：导数及其应用（单调性、极值与最值）一．选择题：(1)已知函数)(xfy在区间),(ba内可导，且),(0bax，则hhxfhxfh)()(lim000()(A))('0xf(B))('20xf(C))('20xf(D)0(2)函数xxyln在区间()(A))1,0(e上单调递减(B)),1(e上单调递减(C)),0(上单调递减(D)),0(上单调递增(3)函数5123223xxxy在]3,0[上的最大值和最小值依次是()(A)15,12(B)15,5(C)4,5(D)15,4(4)已知函数1)6()(23xaaxxxf有极大值和极小值，则实数a的取值范围是()(A)21a(B)63a(C)3a或6a(D)1a或2a(5)设点P是曲线3233xxy上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是()(A))32[，(B)]322(，(C)),32[)2,0[(D)),65[)2,0[(6)方程0109623xxx的实根个数是()(A)3(B)2(C)1(D)0二．填空题：(7)函数2)()(cxxxf在2x处有极大值，则实数c(8)已知曲线xxxyC2323：，直线kxyl：，若l与C相切于点)0)(,(000xyx，则切点坐标是(9)函数bxxxf3)()(Rb在区间)1,0(上单调递增，且关于x的方程0)(xf的根都在区间]2,2[内，则实数b的取值范围是(10)已知axxxf233)()(Ra在]33[，上有最小值3，则在]33[，上，)(xf的最大值是三．解答题：(11)函数baxxxf3)(3)0(a的极大值为6，极小值为2，求实数ba，的值.3-2(12)已知函数xxxf)1ln()(.①求函数)(xf的单调区间；②若1x，证明：xxx)1ln(111.(13)(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数.)(23axxxxf(Ⅰ)求)(xf的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线xxfy与)(轴仅有一个交点.14(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(15)设21,xx是函数xaxbxaxf22323)()0(a的两个极值点，且2||||21xx.①证明：10a②证明：934||b③若函数)(2)(')(1xxaxfxh，证明：当21xx且01x时，axh4|)(|.16.（山东卷）已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.3-3(全国卷Ⅱ)设a为实数,函数.)(23axxxxf(Ⅰ)求)(xf的极值.(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线xxfy与)(轴仅有一个交点.解：(I)'()fx=32x－2x－1若'()fx=0，则x==－13，x=1当x变化时，'()fx，()fx变化情况如下表：x(－∞，－13)－13(－13，1)1(1，+∞)'()fx+0－0+()fx极大值极小值∴()fx的极大值是15()327fa，极小值是(1)1fa(II)函数322()(1)(1)1fxxxxaxxa由此可知，取足够大的正数时，有()fx0，取足够小的负数时有()fx0，所以曲线y=()fx与x轴至少有一个交点结合()fx的单调性可知：当()fx的极大值527a0，即5(,)27a时，它的极小值也小于0，因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。当()fx的极小值a－10即a(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=()fx与x轴仅有一个交点，它在(－∞，－13)上。∴当5(,)27a∪(1，+∞)时，曲线y=()fx与x轴仅有一个交点。即a的取值范围是3[,)4(全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为x，容器的体积为V，1分则V=（90-2x）（48-2x）x,(0V24)5分=4x3-276x2+4320x∵V′=12x2-552x+4320……7分（山东卷）已知1x是函数32()3(1)1fxmxmxnx的一个极值点，其中,,0mnRm，（I）求m与n的关系式；（II）求()fx的单调区间；（III）当1,1x时，函数()yfx的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.解(I)2()36(1)fxmxmxn因为1x是函数()fx的一个极值点,所以(1)0f,即36(1)0mmn，所以36nm3-4（II）由（I）知，2()36(1)36fxmxmxm=23(1)1mxxm当0m时，有211m，当x变化时，()fx与()fx的变化如下表：x2,1m21m21,1m11,()fx00000()fx调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当0m时，()fx在2,1m单调递减，在2(1,1)m单调递增，在(1,)上单调递减.（III）由已知得()3fxm，即22(1)20mxmx又0m所以222(1)0xmxmm即222(1)0,1,1xmxxmm①设212()2(1)gxxxmm，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010gmmg解之得43m又0m所以403m即m的取值范围为4,033-5第五讲答案：一．选择题：BABCCC二．填空题：(7)6(8))83,23((9)]4,3[(10)57三．解答题：(11)1a,4b.(14)解：①'()fx＝ax2＋bx－a2，∵x1，x2是f(x)的两个极值点，∴x1，x2是方程'()fx＝0的两个实数根．1分∵a＞0，∴x1x2＝－a＜0，x1＋x2＝－ba．2分∴|x1|＋|x2|＝|x1－x2|＝b2a2＋4a．3分∵|x1|＋|x2|＝2，∴b2a2＋4a＝4，即b2＝4a2－4a3．4分∵b2≥0，0＜a≤1．5分②设g(a)＝4a2－4a3，则g'(a)＝8a－12a2＝4a(2－3a)．6分由g'(a)＞0及0a0＜a＜23，g'(a)＜023＜a≤1，7分得g(a)在区间（0，23）上是增函数，在区间（23，1]上是减函数，∴g(a)max＝g(23)＝1627．8分∴|b|≤439．9分③∵x1，x2是方程f'(x)＝0的两个实数根，∴f'(x)＝a(x－x1)(x－x2)．10分∴h(x)＝a(x－x1)(x－x2)－2a(x－x1)＝a(x－x1)(x－x2－2)，∴|h(x)|＝a|x－x1||x－x2－2|≤a(|x－x1|＋|x－x2－2|2)2．12分∵x＞x1，∴|x－x1|＝x－x1．又x1＜0，x1x2＜0，∴x2＞0．∴x2＋2＞2．∵x＜2，∴x－x2－2＜0．∴|x－x2－2|＝x2＋2－x．∴|x－x1|＋|x－x2－2|＝x2－x1＋2＝212xx＝4．∴|h(x)|≤4a．14分