统计分析与方法-第七章回归分析3-非线性回归和多项式回归

回归分析—非线性回归和多项式回归非线性回归——可化为线性回归的曲线回归实际问题中，有许多回归模型的被解释变量y与解释变量x之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变化可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。如有下列模型：bxbxppxaeyeaeyxxxyey221010可线性化的回归方程'10'10,xyexeyxx即可化为：令ppppppxxxyxxxxxxxxxy221102212210,,,,则可得到：令可线性化的回归方程bxayeaeybxlnln对数，得：对等式两边同时取自然SPSS中可线性化的曲线回归方程英文名称中文名称方程形式Linear线性函数Logarithm对数函数Inverse逆函数Quadratic二次曲线Cubic三次曲线Power幂函数Compound复合函数SS形函数Logistic逻辑函数Growth增长曲线Exponent指数函数tbby10tbbyln10tbby/102210tbtbby332210tbtbtbby10btbytbby10)/exp(10tbbytbbuy1011)exp(10tbby)exp(10tbbySPSS中可线性化的曲线回归方程在以上曲线回归函数中复合函数：增长曲线：指数函数：这三个曲线方程实际上是等价的，只是表达方式不同。tbby10)exp(10tbby)exp(10tbby曲线回归应用-例题对GDP的拟合。选取GDP为因变量，拟合GDP关于时间t的趋势曲线。首先画散点图：GDP大致为指数函数形式时间20100GDP100000800006000040000200000Dependentvariable..GDPMethod..COMPOUND-复合函数ListwiseDeletionofMissingDataMultipleR.99593RSquare.99188AdjustedRSquare.99138StandardError.08760AnalysisofVariance:DFSumofSquaresMeanSquareRegression115.00487815.004878Residuals16.122782.007674F=1955.31315SignifF=.0000--------------------VariablesintheEquation--------------------VariableBSEBBetaTSigT时间1.192417.0047462.707250251.269.0000(Constant)3603.061130155.21541323.213.0000Dependentvariable..GDPMethod..GROWTH-增长曲线ListwiseDeletionofMissingDataMultipleR.99593RSquare.99188AdjustedRSquare.99138StandardError.08760AnalysisofVariance:DFSumofSquaresMeanSquareRegression115.00487815.004878Residuals16.122782.007674F=1955.31315SignifF=.0000--------------------VariablesintheEquation--------------------VariableBSEBBetaTSigT时间.175982.003980.99593444.219.0000(Constant)8.189539.043079190.106.0000Dependentvariable..GDPMethod..LINEAR-线性回归ListwiseDeletionofMissingDataMultipleR.92528RSquare.85615AdjustedRSquare.84716StandardError9964.23063AnalysisofVariance:DFSumofSquaresMeanSquareRegression19454779005.19454779005.1Residuals161588574273.699285892.1F=95.22782SignifF=.0000--------------------VariablesintheEquation--------------------VariableBSEBBetaTSigT时间4417.522807452.685809.9252849.758.0000(Constant)-13374.9222224900.032018-2.730.0148多项式回归多项式回归常常应用，并且容易转化为一般的多元线性回归模型。一元二阶（次）回归模型：一元三阶（次）回归模型：iiiixxy21110iiiiixxxy311121110二元二阶多项式回归模型该式中不仅有二次项系数，还有交叉乘积项系数。交叉乘积项系数表示x1与x2的交互影响系数。iiiiiiiixxxxxxy21122222211122110二元二阶多项式回归模型应用有关于18个35岁-44岁经理的前两年平均收入x1、风险反感度x2和人寿保险额y的数据。风险反感度是根据发给每个经理的标准调查表估算得到的，他的系数越大，风险反感度就越高。研究人员想研究给定年龄组内的经历年平均收入、风险反感度和人寿保险额之间的关系。研究者预计，在经理的收入和人寿保险额之间成立者二次关系，但是对两个自变量谁否有交互作用未知，因此研究者拟合了一个二阶多项式回归模型：iiiiiiiixxxxxxy21122222211122110ModelSummary.983a.967.96514.93354.994b.988.9879.251641.000c1.000.9991.803291.000d1.000.9991.806441.000e1.0001.0001.74300Model12345RRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimatePredictors:(Constant),平均收入a.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感b.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感,收入平方c.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感,收入平方,反感平方d.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感,收入平方,反感平方,交互作用e.ANOVAf104474.11104474.107468.471.000a3568.17016223.011108042.317106758.4253379.192623.641.000b1283.8931585.593108042.317107996.8335998.91711070.29.000c45.526143.252108042.317107999.9426999.9648274.003.000d42.422133.263108042.317108005.8521601.1647110.202.000e36.457123.038108042.317RegressionResidualTotalRegressionResidualTotalRegressionResidualTotalRegressionResidualTotalRegressionResidualTotalModel12345SumofSquaresdfMeanSquareFSig.Predictors:(Constant),平均收入a.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感b.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感,收入平方c.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感,收入平方,反感平方d.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感,收入平方,反感平方,交互作用e.DependentVariable:保险额f.Coefficientsa-140.55012.170-11.548.000.005.000.98321.644.000-158.7688.324-19.074.000.005.000.94532.472.0005.2011.007.1505.166.000-62.3495.200-11.989.000.001.000.1644.052.0015.685.198.16428.738.0003.708E-08.000.78519.515.000-60.9105.414-11.250.000.001.000.1824.090.0014.4531.278.1293.483.0043.588E-08.000.76015.815.000.116.119.038.975.347-65.3866.123-10.679.000.001.000.1984.460.0015.2171.349.1513.868.0023.579E-08.000.75816.342.000.166.120.0551.383.192-1.96E-05.000-.046-1.401.186(Constant)平均收入(Constant)平均收入风险反感(Constant)平均收入风险反感收入平方(Constant)平均收入风险反感收入平方反感平方(Constant)平均收入风险反感收入平方反感平方交互作用Model12345BStd.ErrorUnstandardizedCoefficientsBetaStandardizedCoefficientstSig.DependentVariable:保险额a.因此去掉风险反感度的二次效应和收入与风险反感度的交互效应！再做回归结果如下：ModelSummary.983a.967.96514.93354.994b.988.9879.251641.000c1.000.9991.80329Model123RRSquareAdjustedRSquareStd.ErroroftheEstimatePredictors:(Constant),平均收入a.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感b.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感,收入平方c.ANOVAd104474.11104474.107468.471.000a3568.17016223.011108042.317106758.4253379.192623.641.000b1283.8931585.593108042.317107996.8335998.91711070.29.000c45.526143.252108042.317RegressionResidualTotalRegressionResidualTotalRegressionResidualTotalModel123SumofSquaresdfMeanSquareFSig.Predictors:(Constant),平均收入a.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感b.Predictors:(Constant),平均收入,风险反感,收入平方c.DependentVariable:保险额d.Coefficientsa-140.55012.170-11.548.000.005.000.98321.644.000-158.7688