2-1复变函数的可导性

11.复变函数的导数及求导法则2.复变函数可导的充要条件§2.1复变函数的可导性21.复变函数的导数及求导法则(1)导数定义如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导。zzfzzfz)()(lim000定义设函数w=f(z)z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作0)('0zzdzdwzfzzfzzfz)()(lim0003(2)求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).例2.1.)(2的导数求zzfzzfzzfzfz)()(lim)(0解zzzzz220)(lim)2(lim0zzz.2zzz2)(24③设函数f(z),g(z)均可导，则[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，)0)((,)()(')()()(']')()([2zgzgzgzfzgzfzgzf.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可由以上讨论zQzPzRzazaazPnn[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)5④复合函数的导数f[g(z)]=f(w)g(z)，其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。)('1)('wzf6)('11)5()(22zfzzzzf，求已知例1解22)1(1)52)(5(2)(zzzzzf与实函数求导方法相同7例()2fzxyi问是否可导？是否连续？　　　zzfzzfzfzz)()(limlim00解zyixiyyxxz2)(2)(lim0yixyixz2lim0，轴的直线趋向于沿着平行于设zxzzxyoz0y)()(yyixxzzyixyixz2lim0,1lim0xxx8xyoz0y，轴的直线趋向于沿着平行于设zyzz0xyixyixz2lim0,22lim0yiyiy　　　不存在的导数所以.2)(yixzf000C,()-()2()22lim[()-()]lim[2]0zxyz=x+iyfzzfzxxiyyxiyxiyfzzfzxiy在上任取一点=()2Cfzxyi所以在上处处连续。9(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原因。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,但在复变函数中，却轻而易举。(3)可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?102.1:f(z)u(x,y)iv(x,y)Df(z)Dzxiy定理设在区域内有定义，则在内一点可微xyyx(1)u(x,y)v(x,y)(x,y)(2)uv,uv(C.R.)，在可微条件xxyyxyyxf(z)uivviuuiuviv此时（2.1）2.复变函数可导的充要条件11f(z)u(x,y)iv(x,y)Df(z)Dzxiy'()xxfzuiv设在区域内有定义，则在内一点可微，且推论,x-vyu,yvxu)2()y,x(yv,xv,yu,xu)1(连续；在)(的充分条件.x-vyu,yvxu)2(yv,xv,yu,xu)1(存在；)(的必要条件12例2.6判定函数的可导性，并求出在何处可导:(1)()(cossin);xfzeyiy解(1)()(cossin)xfzeyiy,sin,cosyevyeuxxcos,sin,xxuueyeyxysin,cosxxvveyeyxy.,xvyuyvxu即四个偏导数均连续，指数函数).()sin(cos)(zfyiyezfx且