考研专业课郑君里版《信号与系统》第一章补充习题附带答案详解

1第一章绪论1．正弦脉冲()ft如题图1(a)所示，求()dftdt和22()dftdt，并画出相应的波形图。解：()sin()[()()]fttutut()cos()[()()]dfttututdt22()sin()[()()]cos()[()()]sin()[()()]()()dfttututtttdttututtt两点讨论：（1）观察本题由()dftdt求22()[()]dddftftdtdtdt的结果我们看到：对于具有不连续点的函数，其在不连续点处的导数将出现冲激函数，其冲激强度为函数在不连续点处函数值的跳变量。这与在高等数学中认为函数在不连续点处不存在导数不同，原因在于我们定义了冲激函数()t，并且认为()()duttdt。（2）观察本题求解结果，有22()()()()dftftttdt，即22()dftdt是()Kft与冲激函数之和，这一点将为求解系统响应和信号的傅里叶变换带来很大的方便。22()()()()dftftttdt2()()()1jjFFe21()1jeF2．某连续时间系统的激励()et和响应()rt的关系通过题图2所示的方框图来表示，求联系()et和()rt之间关系的微分方程。题图1(a))(tf01t(1)题图1(b)()dftdt01t0-1t-122()dftdt(1))(te题图2)(trΣ∫-12-6Σ-9∫-82解：本题给出的方框图不是标准形式，无法直接写出微分方程。除可用引入辅助函数()qt的方法外，还可用以下方法求解。()et到()rt之间有一个直通环节，故1()()()rtrtet，而1()rt满足微分方程21112()6()8()9()12()dddrtrtrtetetdtdtdt消去中间变量1()rt，可得2222()6()8()()3()4()ddddrtrtrtetetetdtdtdtdt3．判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的？（1）)()()(00tebtratrdtd（2）100)()()(btebtratrdtd（3）()2()()rtetut（4）()cos[()]()rtetut（5）)()(tetr（6）)3()(tetr（7）τdτetrt)()(（8）τdτetrt5)()(（9）()()()nrtettnT解：（1）这是一个线性常系数微分方程，系统是线性的、时不变的、因果的。（2）由于方程右端有一常数项1b，系统对外加激励不再满足齐次性和叠加性，但仍满足时不变性和因果性（由激励引发的响应出现在激励之后），故是个非线性的、时不变的、因果的系统。该系统是一个典型的增量线性系统，对任意两个激励的响应之差是两个激励之差的线性函数。（3）是线性的、时变的、因果的，对时变性分析如下：激励)(te产生的响应()2()()rtetut，则激励)()(01ttete产生的响应为110()2()()2()()rtetutettut，而)(tr延时0t的结果为000()2()()rttettutt，显然)()(01ttrtr，故为时变的。或从另一个角度看，()2()()rtetut是个由()ut起始的函数，无论激励在0t区间内如何时移变化，)(tr在0t内均取零值，故)(tr是时变的。（4）是非线性的、时变的、因果的。3（5）是线性的、时变的、非因果的，对时变性分析如下：激励)(te产生的响应)()(tetr，则激励)()(01ttete产生的响应)()()(011ttetetr，而)()]([)(000ttettettr，显然)()(01ttrtr，故为时变的。或者从以下角度分析，响应)(tr是将激励)(te反褶后得到的，当)(te右移（延时）0t得)(0tte时，响应)()(01ttetr则较)()(tetr出现左移（超前0t），故为时变的。由此也可看到响应)(tr出现在激励)(te之前，所以是非因果的。举例如题图3(a)所示（其中10t）。（6）是线性的、时变的、非因果的。举例如题图3(b)所示，从图中可以清楚地看到：当激励右移1时，响应只右移31，响应出现在激励之前，故为非因果的；)(0tte产生的响应不等于)(0ttr，故为时变的。题图3(a)t01)(te1t0-1()rt12)1()(1tetet011-20-111()rtt题图3(b)t03)(te1t01()rt1)1()(1tetet0114310134t)(1tr4（7）是线性的、时不变的、因果的。（8）是线性的、时变的、非因果的。对时变性分析如下：激励)(te产生的响应τdτetrt5)()(，则激励)()(01ttete产生的响应为511()()trted50()tetd05()tted，而05()0()()ttrtted，显然)()(01ttrtr，故为时变的。另外，当0t时，由积分上限可以看到，t时刻的响应的一部分来自于对激励在tt5~时段上的积分，即响应出现在激励之前，故为非因果的。（9）这是个对连续时间信号)(te进行冲激抽样的理想抽样系统，系统是线性的、时变的、因果的。对时变性分析如下：激励)(te产生的响应()()()nrtettnT，则激励)()(01ttete产生的响应为10()()()nrtetttnT，而000()()()nrttettttnT，显然)()(01ttrtr，故为时变的。4．已知线性时不变系统，当激励信号为()sin()()ettut时，其零状态响应()zsrt的波形如题图4(a)所示，试求该系统的单位冲激响应()ht，并画出()ht的波形。解：系统在单位冲激信号()t激励下产生的零状态响应称为单位冲激响应，记为()ht。解法一：利用22()detdt为K()et和冲激函数之和22()()sin()()()()detttuttetdt即22()()()dtetetdt故22()()()zszsdhtrtrtdt()2(1)(2)()zstttrt()ht波形如题图4(b)所示。0()zsrtt题图4(a)1210()htt题图4(b)121(1)(1)(-2)501()ftt1-11解法二：拉氏变换法21()[()]1EsetsL()()2(1)(1)(2)(2)zsrttuttuttut2212ee()[()]sszsRsrtsL系统函数()()()RsHsEs2221(12ee)ssss2(12ee)()ssRs故1()[()]htHsL()2(1)(2)()zstttrt5．判断以下系统是否线性的？时不变的？（1）2()()rtet；（2）2()()rtet。解：（1）非线性、时不变。（2）线性、时变。6．三角形脉冲()ft如图2所示。（1）求()ft的傅里叶变换()F，并画出频谱图；（2）求()ft的拉氏变换()Fs，并注明收敛域。解：（1）设1()ft如图所示，则21()()2FSa∵1()(1)ftft∴21()()()2jjFFeSae2()()2FSa0()ftt图21216（2）()()2(1)(1)(2)(2)fttuttuttut2212()sseeFss，收敛域为整个s平面。或按定义0()()stFsftedt直接计算也得相同结果。0()F1220()