考研数学精选例题

今天来看看第二题吧。题目本身不算难题，不过由于涉及的内容对考研的帮助特别大，又是典型中的典型，所以选出来说。希望今天通过这道题目，能够让大家掌握如何思考这类题目！这道题目的条件很明显，闭区间上连续，开区间上可导，第一反应应该就是中值定理了中值定理有三个，那么该用哪个呢？回一下就可以发现，三个中值定理都只会出现一个参数，但是题目中却出现了两个参数η，ξ。那么怎么办？这个时候就应该知道仅仅一个中值定理是解决不了此题的，所以考虑使用两个中值定理来做！那么，到底该使用哪两个中值定理呢？一般来说，中值定理的混用有3种，两个拉格朗日，一个拉格朗日一个柯西，两个柯西。具体问题就要具体分析了。所以对这道题目，我们有必要对式子进行变形，从中发现线索！不知道大家看出来我变形的目标没有----就是将同一个参数集中在一堆，然后f放在分子，具体函数（在这道题中就是cosx与sinx）放在分母。从这种形式，我们很容易看出来，这应该是柯西中值定理的应用左边f’(η)/sinη就可以看做柯西中值定理的右边部分，这样一来，我们只需要把分子分母的原函数找出来，然后用柯西中值定理处理就可以出现我们结论中的东西了。同理，右边的f’(ξ)/cosξ也可以再用一个柯西中值定理处理。注意，这里左边就应该取端点值a,b，因为表达式里面还含有a,b。至于那个tan（(a+b)/2)可以暂时不管，先分别用柯西中值定理处理后然后再看看是否能够出现那个式子，如果出现不了的话才考虑其他的，能够出现，命题基本上可以说是得证了！于是下面就是解答过程看来，只要将用两个柯西中值定理想出来了，后面的就是水道渠成了。那个tan（(a+b)/2)也是自然而然就出现了。最后总结一下这道题。从这道题我们能够学到哪些东西？首先，通过条件的分析，知道很可能使用中值定理，这是整体把握此题，让自己有个大致的方向。然后就是对题目的分析了。处理一个变量的中值定理的证明题，一般都是利用分析法，也就是通过条件倒推，最后看出需要构造什么样的辅助函数。而处理两个变量及以上也是分析法，不过往往是对结构的分析了。一般步骤就是先将同一个变量放在一起，然后看看那个中值定理的形式和此相同，即可决定使用那个中值定理了。也就是说，这种多变量的中值定理证明题的突破口就在变量上面，做适当变形，分析出条件的使用。至于那些常数（比如这道题里面的tan（(a+b)/2)）完全可以不管，因为往往你将变量的来源分析清楚了，做一下处理，就可以得到这些常数了！为了帮大家熟悉一下这类题型，我又找了几道题，大家自己练习下，如果哪道题不会的，跟帖提出来。我可以帮你分析下思路。三道题的难度是递增的，希望大家多多思考！=findpost&pid=32160159&ptid=3313141题目3是一道积分不等式的证明，是李永乐或者陈文灯书上都可以找到的题目。其中方法很典型，里面的一些技巧也是证明题中常用的，所以我把这道题弄出来进行剖析，将自己的思路展现给大家看看。拿到这道题目，大家可能都有点傻眼了。怎么表达式这么复杂？！！！而且绝对值，积分号，求导号让人眼花缭乱，感觉根本不知道从何下手。我们不妨先从三个独立的表达式分析起走。第一个表达式首先要明白这个式子说的是什么东西。读懂表达式，是你做证明题的根本！不难看出，这个式子说的就是|f(x)|的在区间[a,b]的最大值。写的这么高深，弄得大家心里发慌，其实根本就是一只纸老虎嘛！我们并不关心最大值在哪一点取得，所以我们可以把取得最大值的这一点设为ξ，则这个式子可以化成|f(ξ)|.你看，这样一简化，是不是显得更加简洁和舒服，让自己的信心也增加了不少。第二个表达式这个式子对积分熟悉一点的看见了就应该有一种很强烈的反应，就是积分中值定理！！所以这个式子我们也可以简化一下成|f(η)|.这样一来，不但大大简化了表达式，而且成功的与第一个表达式联系了起来！这样对题目的认知也就在简化中一点一点的清晰化了！第三个表达式这个表达式相对于前面两个来说要复杂一些，因为它没有很好的化简方式。所以我们只有暂且不管这个表达式，把它作为一个常量，摆在那里，考虑去处理表达式1,2，使得能够得到表达式3！为此，我们将表达式1和表达式2放在一起，于是移项，得到下面不等式，也就是我们需要证明的！注意到左边两个式子|f(ξ)|-|f(η)|，看见这个，然后考虑到这是一道不等式的题目，并且ξ，η都是未知的一个数，我们应该立即联想到放缩，用什么放缩？绝对值不等式！|x|-|y|=|x-y|，然后逻辑方向（也就是不等式的方向）也是正确的，所以放心大胆的做吧！如此一来，我们便可以一口气做下去了。于是得到下面的解答！|最后需要再多说两句的就是放缩的后期有一步非常经典注意到没有，第一步的那个等号是这道题里面最难也是最精华的部分。反用牛顿--莱布尼茨公式。成功将积分和导数联系在了一起，破解了这个看似超级复杂的证明题！后面的就是定积分的基本性质虽然这个式子平时看起来觉得再熟悉简单不过了，可是真正使用的时候还是不简单的。最后对这个题目打一个小结，这道题到底让我们学到了哪些知识和思想方法。知识1：积分中值定理，在某些时候可以简化表达式知识2：绝对值不等式以及定积分里面的绝对值不等式知识3：牛顿--莱布尼茨公式的逆用考察的知识不难，关键如何将这些知识串联起来，这是需要不断训练的，当然，通过平时练习多总结多思考，就是提高的最快路径了！思想方法1：对证明的式子需要有个宏观把握，能简化的要简化，这样便于你看清楚整个题目间的关系。思想方法2：不等式证明中间肯定有放缩，这个时候需要找出一定放缩的方法，而且更重要的是判断放缩的方向是否正确，如果正确才可继续往下做。思想方法3：对公式的逆用。有些时候我们做题做多了，往往对有些公式只会顺着用，反过来如何用未曾或者很少想过。其实，像这种难度较大的不等式，往往有一定的思想方法在里面，通过这道题目，我们也学习到了牛顿莱布尼茨公式逆用的威力。可以联系积分与导数！总而言之，这道题目难度不小，不过也不是天马行空的，仔细琢磨，会发现里面有很多思想是值得学习借鉴的！最后选了一道题目，供大家练习这道题看上去就比较容易入手。因为题目有两个问题，一般来说，第一问是为第二问做铺垫的，往往第二问可以用到第一问的结论，就算用不到，第一问也会给第二问带来很明确的方向。还是条件入手，分析条件，从正向边界，平面区域，不难得出此题是二重积分和曲线积分的转换问题，应该使用格林公式来做。于是分别对第一问左右两边用格林公式，转换成二重积分。对比二重积分的被积表达式，发现其实并不完全一样。所以这个时候我们又得考虑一下，是不是哪个条件没有用上。仔细观察下给的条件，发现积分区域没用上，这个区域有个特点，就是很对称，不过不关于x轴也不关于y轴对称，而是关于y=x对称。于是OK了。利用这种对称性，成功的证明两个二重积分是相等的了！下面接着做第二问。第二问是一个不等式问题，如果没有第一问的铺垫，也算是比较难的了，不过有了第一问，那么就相对简单些了。先做一些处理这一步也算是得力于第一问了。就是利用y=x对称的这个性质！这样一来，我们将多变量转换成了单变量，这也是做题的一种策略！可是即使做到这一步，我们也无法直接得出结论，并且e^sinx这种函数是无法积分（准确说无法找出初等原函数），加上题目本身也不是让你准确积出来，而是证明不等式，所以联想到放缩！于是下一步考察e^x+e^（-x）这个函数的性质为了能够积分容易，泰勒公式是一个不错的选择，它将各种函数都弄成了幂函数的形式，而幂函数正是很容易积分的形式。于是，将e^x+e^（-x）在x=0点展开。一放缩，本题就得出答案了，具体过程如下。最后总结一下这道题目题目分析过程不算特别难，主要就是格林公式的应用和二重积分的对称性，以及最后的泰勒公式展开。但是有两个地方值得挖掘（1）题目可以一般化！方法与上面一模一样，这里不赘述。不过需要注意的是，第二问就无法证明大于等于5/2π^2,只能证明大于等于2π^2（2）对于本题的第二问，我们可以从解答中看出，还可以继续不断的进行更强的放缩得到的结果也更加强！这一种方法给我们的启示就是：对于那种无法积出具体分的积分不等式，我们可以利用泰勒展开来做。适当放缩就可以得到答案！下面就这个方法，给一道习题此题左边比较容易，右边稍微有点难，可以尝试一下！这道题给人的第一感觉就是条件的式子很复杂，不过要证明的结论却很简单。很容易注意到有下面这个关系存在于是为了朝最后的目标迈进，我们需要将结论的式子变形，构造出我们挖掘出来的这个条件，于是利用恒等式：但是，使用了恒等式后，无论怎么变形，后面的那个括号里面的式子就是无法完全和已知条件联系起来。这个时候，我们需要想想，是不是开始的时候，方向有错误。因为我们挖掘出来的条件是u+v+w=e，而结论中并没有e出现，加上现在这样做无法做下去了。所以我们此时需要换个思路去做。再仔细观察条件，给出了u,v,w的表达式，他们除了相加能够得到常数e之外，各自之间是否有联系呢？如果对导数熟悉敏感一点的人就会发现，他们之间有求导后相等的关系！这个时候你可能会很欣慰，因为又找出了一个隐含条件。那么，这个条件该怎么用呢？考虑到结论是证明一个表达式等于常数，我们不妨求导，一来是可以出现导数，而来如果导数等于0的话，那么就可以判断表达式本身就是一个常数了。就这样，大胆的向下做！解答过程回头看看这个题目，到底给了我们多少启示呢？首先，我们有时候需要自己去挖掘隐含条件，特别是条件给的很简单的时候其次，隐含条件可能不止一个，所以尽可能挖，尤其是平时训练，这样有助于拓展视野。不过考试的时候就根据实际情况找到相应的即可。但是，有时候需要多个挖掘的隐含条件一起用才能奏效，这点注意下。然后，这道题也有很朴素的一个方法，就是导函数为0，原函数为常数C。最后，特别说明下，对级数求导后得到新级数如果能够与已知级数发生关系，那么，这个关系往往能够在解题中运用。下面就看一道练习题吧。题目8初看题目的结论，我们很容易反应出一个思路---单调有界数列必有极限。因为除此之外，我们也没有其他方法来处理。可是看看这个题目的条件，给的并不是递推式，而是一个递推不等式。这该如何处理。我们先不妨把这个题分解成两步来做。第一步先证明其是有界的，题目已经告诉这个数列是正值的，所以每一项都大于0！然后根据不等式lnxn1-1/xn+11可以得出xne，所以这个数列也是有上界的。至此，有界这一部分也成功做出来了，这也是比较容易的一部分！下面来处理比较难的，单调性的处理！首先不得不说，这道题目给的递推不等式，不能再使用递推式的那种方法来证，但是思想方法不变！观察下条件的结构一个是对数函数lnx，另一个是反比例函数1/x，从解方程的角度来看，这算是一个超越方程了，一般是无法解出来具体值的。况且我们也没必要求出具体值。我们不妨先将xn与xn+1的式子分别在不等号两端。这个时候，我们希望能够出现另一个不等式如果能实现这个目标的话，那么我们的单调性也就出来了。于是，我们考虑构造辅助函数f(x)=lnx+1/x-1然后研究其单调性以及极值。然后得到以下的解法！不得不说，这是一道很好的题目，不但打破了传统的递推式数列，也让我们了解到了，如何将题目的条件分析更能清晰化思路。总的说来，这道题仅仅考察了一个很简单的知识点—单调有界函数必有极限。可是考察的数学思想却很深入，题目难度不小，因为平常训练相对较少，往往都是递推式的求极限。简单的知识点与纯粹的数学思想，构造成了这道美妙的题目！此外，如果大家对于一个不等式很熟悉的话，那么对做这道题也是很有帮助的！！1-1/(x+1)ln(x+1)x.注意到左边的那个不等号，是不是和题目的条件很相似啊！所以我说，平时记住一些小结论，对于解题也会有意想不到的作用！下面看到类似的题目今天来看看不等式的题目。不等式对于我们来说应该是再熟悉不过的了，初中的时候学过一次二次不等式，高中更是系统学习了不等式，在考研试题里面，也不乏不等式的题目。不等式的