考研数学高数6反常积分

第六讲：广义积分（反常积分）反常积分概念：定积分是有界函数()fx在有限区间[,]ab上讨论的积分问题，但有的积分问题需要在无穷区间上讨论，或者是讨论无界函数的积分，这就是广义积分（或称反常积分）：第一类反常积分（无穷积分）()afxdx或()bfxdx第二类反常积分（瑕积分）()bafxdx其中：lim()xafx或lim()xbfx在上两个定义式中，若积分存在，则称相应的反常积分收敛；若积分不存在，则称其为发散．例：计算广义积分12d1xx02dexx0de2xxx重要例题：讨论p-积分的敛散性：+111111pppdxxp下面先针对第一类反常积分的敛散性的判断进行讨论第一类反常积分的敛散性判别法：（仅讨论()afxdx的形式）绝对收敛性：若反常积分|()|afxdx收敛，则称反常积分()afxdx绝对收敛，或称()fx在区间[,)a上绝对可积；若反常积分|()|afxdx发散，而反常积分()afxdx收敛，则称反常积分()afxdx条件收敛，或称()fx在区间[,)a上条件可积。定理：若()afxdx绝对收敛，则()afxdx必收敛正项反常积分的敛散性判别：（即以下讨论中，被积函数都是非负的）比较判别法：设在[,)a上恒有)()(0xKxf，其中K是正常数。则（1）当adxx)(收敛时，adxxf)(也收敛；（2）当adxxf)(发散时，adxx)(也发散。例：111ln(1)1dxxx比较判别法的极限形式：设在[,)a上恒有0)(xf，0)(xg，且()lim()xfxcgx。则：（1）若0+c，则adxxf)(与adxxg)(具有相同的敛散性；（2）若0c，且adxxg)(收敛，则adxxf)(收敛；（3）若c，且adxxg)(发散，则adxxf)(发散。例：1(,0)1mnxdxmnx在实际做题中，经常取1()pxx，由此可得如下两个定理：柯西判别法：设在[,)a(,)0上恒有fx()0，K是正常数。⑴若fxKxp()，且p1，则adxxf)(收敛；⑵若fxKxp()，且p1，则adxxf)(发散。柯西判别法的极限形式：设在[,)a(,)0上恒有fx()0，且lim()xpxfxl，则⑴若0l，且p1，则adxxf)(收敛；⑵若0l，且p1，则adxxf)(发散。显然，当l为非零常数时，adxxf)(与对应的p-积分具有相同的敛散性。一般反常积分的敛散性判别：（即以下讨论中，被积函数的符号不再做要求）除了绝对收敛以外，还有如下两个判别法：A-D判别法若下列两个条件之一满足，则adxxgxf)()(收敛（1）（阿贝尔判别法）adxxf)(收敛，g(x)在),[a上单调有界;（2）（狄利克雷判别法）设AadxxfAF)()(在),[a上有界，g(x)在),[a上单调,且lim()0xgx例：1cosxdxx1cosarctanxxdxx第二类反常积分的敛散性判别法：绝对收敛性：若反常积分|()|bafxdx收敛，则称反常积分()bafxdx绝对收敛，或称()fx在区间[,)ab上绝对可积；若反常积分|()|bafxdx发散，而反常积分()bafxdx收敛，则称反常积分()bafxdx条件收敛，或称()fx在区间[,)ab上条件可积。定理：若()bafxdx绝对收敛，则()bafxdx必收敛正项反常积分的敛散性判别：（即以下讨论中，被积函数都是非负的）比较判别法：设在),[ba上恒有)()(0xKxf，其中K是正常数。则（1）当badxx)(收敛时，badxxf)(也收敛；（2）当badxxf)(发散时，badxx)(也发散。比较判别法的极限形式：对以b为唯一瑕点的两个瑕积分badxxf)(与badxxg)(如果)(xf,)(xg是非负函数，且,)()(limlxgxfbx则：（1）当l0,且badxxg)(收敛时，则badxxf)(也收敛．（2）当l0，且badxxg)(发散时，则badxxf)(也发散．柯西判别法：设x=a是()fx在(,]ab上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,0c，那么（1）如0()()pcfxxa,且1p,则badxxf)(收敛．（2）如()()pcfxxa,且1p,则badxxf)(发散．柯西判别法的极限形式：设kxfaxpax)]()[(lim（1）若0k,且1p,则badxxf)(收敛（2）若0k,且1p,那么badxxf)(发散．例：(1)10222)1)(1(xkxdx(k21)(2)20cossinxxdxqp(p,q0)(3)10)]cos1([1dxxx(0)A-D判别法：若下列两个条件之一满足，则badxxgxf)()(收敛：（b为唯一瑕点）（1）（阿贝尔判别法）badxxf)(收敛,g(x)在[a,b)上单调有界（2）(狄利克雷判别法))(F=badxxf)(在[a,b)上有界,g(x)在(],0ab上单调,且0)(limxgbx.例：101sindxxxp(0p2)练习题：(1)2sinlnlnlnxdxxx；(2)02sindxx；(3)2022sincos1dxxx；(4)1021lndxxx；(5)1011ln)1(xdxxxqp；(6))0,(ln1011qpdxxxxqp；(7)01dxxxqp；(8)01dxexxp；(9)0211dxxxp；(10)0sin2sindxxxepx；(11))0(1sin1pdxxxxpq；(12))0()1sin(0pdxxxxp．