运用二倍角公式解题的六技巧

运用二倍角公式解题的五技巧二倍角公式变化多姿，在求值以及恒等变换中应用很广。若熟练掌握二倍角公式以及变通公式并能灵活运用，则往往能出奇制胜，获得新颖别致的解法。一、二倍角公式的直接运用例1若1sincos3，0，求sin2cos2的值。分析：由条件式两边平方，可求得sin2的值。注意到22cos2cossin(cossin)(cossin)，还需求cossin的值，于是先求22(cossin)(sincos)4sincos的值，然后开方，从而要进一步界定的范围。解：由1sincos3两边平方得112sincos9，所以4sincos9。又0，所以sin0，cos0，所以为钝角。所以8sin22sincos9，2cossin(sincos)2sin218172()993，所以22cos2cossin(cossin)(cossin)11717()339，从而817sin2cos29。点评：挖掘隐含得到为钝角是解题的一个重要环节。注意导出公式21sin2(sincos)。二、二倍角公式的逆用例2求tancot88的值。解：tancot88sincos88cossin8822sincos88cossin88cos41sin242cot24。点评：本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式，从而转化为特殊角函数的求值问题。三、二倍角公式的连用例3求cos12cos24cos48cos96的值．分析：24212，48224，96248，联想二倍角的正弦公式cossin22sin，若逐步逆用将是一条通途．解：cos12cos24cos48cos96sin12cos12cos24cos48cos96sin12sin19216sin12sin12116sin1216。点评：对形如12cos4cos2coscosn的求值问题可考虑此法．若逆用诱导公式cos)2sin(可知74cos72cos7cos145sin143sin14sin，即对于正弦之积或正弦余弦混合积的求值问题先利用诱导公式转化为余弦之积的形式利用此法求解．四、整体配对使用二倍角公式例4．求值：78sin66sin42sin6sin分析：本题可按例２的点评部分所说的方法处理，这里介绍整体构造法．解：设78sin66sin42sin6sinA，构造78cos66cos42cos6cosB则156sin132sin84sin12sin161AB66cos42cos6cos78cos161B161，因为0B，所以161A，即16178sin66sin42sin6sin．点评：将已知式视为一个整体，然后构造一个与之对称的对偶式，通过联立这两个式子，求得原问题的解即为整体构造法．本题的值可求出，实质上是78sin66sin42sin6sin12cos24cos48cos84cos96cos48cos24cos12cos．五、二倍角公式的变用（升次或降次）二倍角公式的变用包括公式形式上的变用（如将cossin22sin变为cos22sinsin，sin22sincos；二倍角余弦公式变形得到升幂公式1cos22cos22sin21或得到降幂公式22cos1sin2或22cos1cos2；）和与诱导公式等结合的综合变用（如导出万能公式和半角公式等）．例5求值：22cos5cos102cos5cos10cos15解：原式1cos101cos202cos5cos10cos152211(cos10cos20)2(cos15cos5)cos1521cos15cos5cos15cos5cos1521cos151cos3023124六、整体思考运用二倍角公式诱导公式与二倍角公式结合可以导出：cos2sin2()42sin()cos()44，cos2sin2()42sin()cos()44。例6．已知)4,0(x，且135)4sin(x，求)4cos(2cosxx的值．分析：若由135)4sin(x展开后与1cossin22xx联立并结合)4,0(x是可以求出xsin和xcos，但这样求解运算量是非常大的且容易出错．应将x4视为一个整体进行求解．解：因为)4,0(x，所以)4,0()4(x，所以)4cos(x)4(sin12x1312．所以)22sin(2cosxx)4cos()4sin(2xx13121352169120．)]4(2cos[)4cos(xx)4sin(x135．故原式1324513169120．点评：在运用整体思想的条件下，要立足一个“变”字，善变则活．一是角的拆变，二是通过诱导公式实现角的变换而得到统一．要观察到2)4()4(xx，xx22)4(2而想到利用诱导公式和倍角公式．例7．设a2sin，b2cos，求)4tan(．分析：要把4视为一个整体，并注意到22)4(2，需要利用诱导公式来实现转化．解：由sin2cos(2)2，a2sin，2cos(2)2cos()124得a1)4(cos22①由)22sin(2cos，b2cos及二倍角的正弦公式得b)4cos()4sin(2②由②①得)4tan(ab1．