离散系统时域分析.

信号与系统©西安邮电大学第3-1页■电子教案第三章离散系统的时域分析第三章离散系统的时域分析3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解三、零输入响应和零状态响应3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应二、阶跃响应3.3卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图解三、不进位乘法四、卷积和的性质注意离散系统与连续系统分析方法上的联系、区别、对比，与连续系统有并行的相似性。信号与系统©西安邮电大学第3-2页■电子教案3.1LTI离散系统的响应3.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照微分运算，定义离散信号的差分运算。1.差分运算tttftfttfttfttfttfttt)()(lim)()(lim)(limd)(d000离散信号的变化率有两种表示形式：kkkfkfkkf)1()()1()()1()1()()(kkkfkfkkf信号与系统©西安邮电大学第3-3页■电子教案3.1LTI离散系统的响应（1）一阶前向差分：f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分：f(k)=f(k)–f(k–1)式中，和称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。（3）差分的线性性质：[af1(k)+bf2(k)]=af1(k)+bf2(k)（4）二阶差分：2f(k)=[f(k)]=[f(k)–f(k-1)]=f(k)–f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）m阶差分:mf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bmf(k-m)定义：信号与系统©西安邮电大学第3-4页■电子教案3.1LTI离散系统的响应2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得n阶差分方程一般形式差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)信号与系统©西安邮电大学第3-5页■电子教案3.1LTI离散系统的响应例1：若描述某LTI系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=2，激励f(k)=2k(k)，求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)k=2y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2k=3y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10k=4y(4)=–3y(3)–2y(2)+f(4)=–10……易懂但一般不易得到解析形式的(闭合)解。信号与系统©西安邮电大学第3-6页■电子教案3.1LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)与微分方程经典解类似：y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解yh(k)齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0特征方程1+an-1–1+…+a0–n=0即n+an-1n–1+…+a0=0其根i(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根。当特征根为单根时，yh(k)形式：Ck当特征根为2重根时，yh(k)形式：(C1k+C0)k信号与系统©西安邮电大学第3-7页■电子教案3.1LTI离散系统的响应1110()(1)rmmmmkPkPkPkPr有重为的特征根10()()kPkPaa等于特征单根激励f(k)响应y(k)的特解yp(k)mk1110(1)mmmmPkPkPkP特征根均不为ka不等于特征根）aPak()e(sincosj21特征根不等于kPkP110()()rrkrrPkPkPaar等于重特征根F(常数)P(常数)cos(k)或sin(k)2.特解yp(k):特解的形式与激励的形式类似(r≥1)信号与系统©西安邮电大学第3-8页■电子教案例2：若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程为2+4+4=0；特征根1=2=–2齐次解：yh(k)=(C1k+C0)(–2)k3.1LTI离散系统的响应特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程：P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，解得：P=1/4特解：yp(k)=2k–2,k≥0全解为：y(k)=yh+yp=(C1k+C0)(–2)k+2k–2,k≥0代入初始条件解得：C1=1,C0=–1/4信号与系统©西安邮电大学第3-9页■电子教案3.1LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应y(k)=yzi(k)+yzs(k)当激励分解为外部激励和内部状态时完全响应=零输入响应+零状态响应y(j)=yzi(j)+yzs(j),j=0,1,2,…,n–1设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(–1),y(–2),…，y(–n)描述系统的初始状态。yzs(–1)=yzs(–2)=…=yzs(–n)=0所以y(–1)=yzi(–1)，y(–2)=yzi(–2)，…，y(–n)=yzi(–n)利用迭代法分别求得零输入响应和零状态响应初始值yzi(j)和yzs(j)(j=0,1,2,…，n–1)信号与系统©西安邮电大学第3-10页■电子教案3.1LTI离散系统的响应例3：某LTI离散系统的差分方程y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知激励f(k)=2k,k≥0，初始状态y(–1)=0,y(–2)=1/2,求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。解：（1）零输入响应yzi(k)满足方程yzi(k)+3yzi(k–1)+2yzi(k–2)=0其初始状态yzi(–1)=y(–1)=0,yzi(–2)=y(–2)=1/2首先递推求出初始值yzi(0),yzi(1)yzi(k)=–3yzi(k–1)–2yzi(k–2)yzi(0)=–3yzi(–1)–2yzi(–2)=–1yzi(1)=–3yzi(0)–2yzi(–1)=3信号与系统©西安邮电大学第3-11页■电子教案3.1LTI离散系统的响应方程的特征根:λ1=–1，λ2=–2，其解为:yzi(k)=Czi1(–1)k+Czi2(–2)k将初始值代入，解得Czi1=1,Czi2=–2所以：yzi(k)=(–1)k–2(–2)k,k≥0（2）零状态响应yzs(k)满足yzs(k)+3yzs(k–1)+2yzs(k–2)=f(k)=2k,k≥0初始状态yzs(–1)=yzs(–2)=0递推求初始值yzs(0),yzs(1)，yzs(k)=–3yzs(k–1)–2yzs(k–2)+2k,k≥0yzs(0)=–3yzs(–1)–2yzs(–2)+1=1yzs(1)=–3yzs(0)–2yzs(–1)+2=–1信号与系统©西安邮电大学第3-12页■电子教案3.1LTI离散系统的响应分别求齐次解和特解，得yzs(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+yp(k)=Czs1(–1)k+Czs2(–2)k+(1/3)2k代入初始值求得:Czs1=–1/3,Czs2=1yzs(k)=–(–1)k/3+(–2)k+(1/3)2k,k≥0(3)全响应：y(k)=yzi(k)+yzs(k)y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)P·2k信号与系统©西安邮电大学第3-13页■电子教案3.2单位序列响应和阶跃响应3.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列响应由单位序列(k)所引起的零状态响应称为单位序列响应或单位样值响应，或简称单位响应，记为h(k)。h(k)=T[{0},(k)]重点考虑两个基本信号(k),(k)引起的零状态响应,称为单位序列响应和单位阶跃响应，既反映了系统的本质特性，又可以帮助求解任意信号引起的零状态响应.系统{0})(k)(khNiih,3,2,10信号与系统©西安邮电大学第3-14页■电子教案3.2单位序列响应和阶跃响应根据差分方程求单位序列响应例1已知某系统的差分方程为y(k)-y(k-1)-2y(k-2)=f(k)求单位序列响应h(k)。解根据h(k)的定义有h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=(k)(1)h(–1)=h(–2)=0（1）递推求初始值h(0)和h(1)将方程(1)移项为h(k)=h(k–1)+2h(k–2)+(k)h(0)=h(–1)+2h(–2)+(0)=1h(1)=h(0)+2h(–1)+(1)=1信号与系统©西安邮电大学第3-15页■电子教案3.2单位序列响应和阶跃响应(2)求h(k)对于k0，h(k)满足齐次方程h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=0特征方程(+1)(–2)=0所以h(k)=C1(–1)k+C2(2)k，k0h(0)=C1+C2=1h(1)=–C1+2C2=1注意：这时已将h(0)的值代入，因而方程的解也满足k=0。解得C1=1/3,C2=2/3h(k)=(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k,k≥0或h(k)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k](k)信号与系统©西安邮电大学第3-16页■电子教案3.2单位序列响应和阶跃响应例2：若方程为：y(k)–y(k–1)–2y(k–2)=f(k)–f(k–2)求单位序列响应h(k)解：h(k)满足h(k)–h(k–1)–2h(k–2)=(k)–(k–2)因为包含(k–2)，因而不能认为k0时输入为零。可根据线性系统的叠加特性求解。令只有(k)作用时,系统的单位序列响应h1(k),它满足h1(k)–h1(k–1)–2h1(k–2)=(k)初始状态h1(-1)=h1(–2)=0;令只有(k-2)作用时,系统的单位序列响应h2(k),它满足h2(k)–h2(k–1)–2h2(k–2)=–(k–2)初始状态h2(0)=h2(1)=0;信号与系统©西安邮电大学第3-17页■电子教案3.2单位序列响应和阶跃响应根据线性时不变性，h(k)=h1(k)+h2(k)h2(k)=–h1(k–2)h(k)=h1(k)–h1(k–2)=[(1/3)(–1)k+(2/3)(2)k](k)–[(1/3)(–1)k–2+2/3)(2)k–2](k–2)信号与系统©西安邮电大学第3-18页■电子教案3.2单位序列响应和阶跃响应二、阶跃响应g(k)=T[(k),{0}]由于0()()()kijkikj，(k)=(k)–(k–1)=(k)所以0()()()kijgkhihkj，h(k)=g(k)12211211111kkkjjkaaaaakka(k2≥k1)两个常用的求和公式：2)1)((121221kkkkjkkj)()1(0kkkjkj)()1(10kkkj信号与系统©西安邮电大学第3-19页■电子教案3.2单位序列响应和阶跃响应例.求如图所示离散系统的单位序列响应h(k)和阶跃响应g(k)。D∑D()fk(2)yk()yk+++12(1)yk解：（1）列写差分方程，求初始值由加法器的输出可列出系统的方程为()()(1)2(2)ykfkykyk整理得：()(1)2(2)()ykykykfk12()(1)(2)033kkhkk，(2)系统的单位序列响应信号与系统©西安邮电大学第3-20页■电子教案3.2单位序列和单位序列响应121()(1)(2)02kkgkCCk，(3)求g(k)根据阶