科学和工程计算复习题及答案

1科学和工程计算基础复习题一、填空题:1.评价一个数值计算方法的好坏主要有两条标准:计算结果的精度和得到结果需要付出的代价.2.计算机计费的主要依据有两项:一是使用中央处理器(CPU)的时间,主要由算数运算的次数决定;二是占据存储器的空间,主要由使用数据的数量决定.3.用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算.4.对于某个算法,若输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制,则称该算法是数值不稳定的,否则是数值稳定的.5.函数求值问题xfy的条件数定义为:)()())(()(xfxfxxfcondxC6.单调减且有下界的数列一定存在极限;单调增且有上界的数列一定存在极限.7.方程实根的存在唯一性定理:设],[)(baCxf且0)()(bfaf,则至少存在一点ba,使0f.当xf在ba,上存在且不变号时,方程在ba,内有唯一的实根.8.函数yxf,在有界闭区域D上对y满足Lipschitz条件,是指对于D上的任意一对点1,yx和2,yx成立不等式:2121),(),(yyLyxfyxf.其中常数L只依赖于区域D.9.设niRAinn,,2,1,,为其特征值,则称iniA1max)(为矩阵A的谱半径.10.设1A存在,则称数AAAcond1)(为矩阵A的条件数,其中是矩阵的算子范数.11.方程组fxBx,对于任意的初始向量0x和右端项f,迭代法fxBxkk1收敛的充分必要条件是选代矩阵B的谱半径1)(B.12.设被插函数xf在闭区间ba,上n阶导数连续,xfn1在开区间ba,上存在.若niix0为ba,上的1n个互异插值节点,并记niinxxx01,则插值多项式nkknknknxxxxxfxL011的余项为)()!1()()()()(1)1(xnfxLxfxRnxnnn,其中),()(baxx.213.若函数组baCxnkk,0满足lklklk,0,0),(k,l=0,1,2,…,n,则称nkkx0为正交函数序列.14.复化梯形求积公式banknbfkhafafhfTdxxf11)()(2)(2)()(,其余项为),(),(12)(2bafhabRnT15.复化Simpson求积公式banknknbfkhafhkafafhfSdxxf1011)()2(2))12((4)(3)()(,其余项为),(),(180)()4(4bafhabRnS16.选互异节点nxxx,,,10为Gauss点,则Gauss型求积公式的代数精度为2n+1.17.如果给定方法的局部截断误差是11pnhOT,其中1p为整数,则称该方法是P阶的或具有P阶精度.18.微分方程的刚性现象是指快瞬态解严重影响数值解的稳定性和精度,给数值计算造成很大的实质性困难的现象.19.迭代序列baxkk,0终止准则通常采用11kkkxxx，其中的0为相对误差容限.20.在求解非线性方程组的阻尼牛顿迭代法中加进阻尼项的目的,是使线性方程组(牛顿方程)的系数矩阵非奇异并良态.二、选择题1.下述哪个条件不是能使高斯消去法顺利实现求解线性代数方程组,ijnnAxbAa的充分条件?(D)A.矩阵A的各阶顺序主子式均不为零;B.A对称正定;C.A严格对角占优;D.A的行列式不为零.2.高斯消去法的计算量是以下述哪个数量级的渐近速度增长的?(B)A.313n;B.323n;C.314n;D.334n.33.对于任意的初始向是0x和右端项f,求解线性代数方程组的迭代法1kkxBxf收敛的充分必要条件是(A).A.1B;B.1B;C.det0B;D.B严格对角占优.4.下述哪个条件不是能使求解线性代数方程组,ijnnAxbAa的Gauss-Seidel迭代法收敛的充分条件?(C)A.A为严格对角占优阵;B.A为不可约弱对角占优阵;C.A的行列式不为零;D.A为对称正定阵.5.设2,fxCab，并记2maxaxbMfx，则函数fx的过点,,,afabfb的线性插值余项1Rx,,xab满足(A).A.2218MRxba;B.2218MRxba;C.2216MRxba;D.2216MRxba.6.设nx是在区间,ab上带权x的首项系数非零的n次正交多项式1n,则nx的n个根(A).A.都是单实根;B.都是正根;C.有非负的根;D.存在重根7.Legendre多项式是()的正交多项式.(B)A.区间1,1上带权211xx;B.区间1,1上带权1x;C.区间,上带权2xxe;D.区间0,1上带权1x8.离散数据的曲线拟合的线性最小二乘法的Gram矩阵与(D)无关?A.基函数0nkkx;B.自变量序列0miix;C.权数0miiw;D.离散点的函数值0miiy.9.Simpson求积公式的余项是(B).A.3,,12hRffab;B.54,,90hRffab;C.2,,12hbaRffab;D.44,,90hbaRffab10.n个互异节点的Gauss型求积公式具有(D)次代数精确度.A.n;B.1n;C.21n;D.21n.411.一阶导数的数值计算公式中,中心差商公式的精度为(B).A.Oh;B.2Oh;C.2oh;D.32Oh.12.对于用插值法建立的数值求导公式,通常导数值的精确度比用插值公式求得的函数值的精度(B).A.高;B,低;C.相同;D.不可比.13.在常微分方程初值问题的数值解法中,梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的(A).A.算术平均;B.几何平均;C.非等权平均;D.和.14.当(B)时,求解,0yy的显式Euler方法是绝对稳定的.A.11h;B.20h;C.01h;D.22h15.求解,0yy的经典R-K公式的绝对稳定条件是(C):A．20h;B.2112hh;C.2341123!4!hhhh;D.22121211212hhhh.16.在非线性方程的数值解法中,只要***1,()xxx,那么不管原迭代法1,0,1,2,kkxxk是否收敛,由它构成的Steffensen迭代法的局部收敛的阶是(D)阶的.A.1;B.0;C.2;D.2.17.在非线性方程的数值解法中,Newton迭代法的局部收敛的阶是(D)阶的.A.1;B.0;C.2;D.2.18.在非线性方程的数值解法中,离散Newton迭代法的局部收敛的阶是(C)阶的.A.1;B.2;C.152;D.2.19.在求解非线性方程时,迭代终止准则通常采用(A),其中的0为给定的相对误差容限.A.11kkkxxx;B.1kkkxxx;C.1kkxx;D.111kkkxxx.20.在求解非线性方程组时,加进阻尼项的目的,是使线性方程组的(C).A.系数矩阵非奇异;B.系数矩阵的行列式不等于零;C.系数矩阵非奇异并良态;D.系数矩阵可逆.三、判断题1.在用计算机求数学问题的数值解就是构造算法的构造问题.(×)52.用计算机进行数值计算时,所有的函数都必须转化成算术运算;在作加减法时,应避免接近的两个数相减;在所乘除法时,计算结果的精度不会比原始数据的高.(√)3.用计算机作加减法时,交换律和结合律成立.(×)4.单调减且有下界的数列一定存在极限。(√)5.设nnBR,则lim0kkB的充要条件是B的谱半径1B.(√)6.若nnAR,则一定有2AB.(×)7.求解线性代数方程组,当n很大时,Cholesky分解法的计算量比Gauss消去法大约减少了一半.(√)8.在用迭代法求解线性代数方程组时,若Jacobi迭代矩阵为非负矩阵,则Jacobi方法和Gauss-Seidel方法同时收敛,或同时不收敛;若同时收敛,则Gauss-Seidel方法比Jacobi方法收敛快.(√)9.均差(或差商)与点列0,niiixfx的次序有关.(×)10.线性最小二乘法问题的解与所选基函数有关.(×)11.复化梯形求积公式是2阶收敛的,复化Simpson求积公式是4阶收敛的.(√)12.Gauss求积系数都是正的.(√)13.在常微分方程初值问题的数值解法中,因为梯形公式是显式Euler公式和隐式Euler公式的算术平均,而Euler公式和隐式Euler公式是一阶方法,所以梯形公式也是一阶方法.(×)14.在Runge-Kutta法中,通常同级的隐式公式能获得比显式公式更高的阶.(√)15.求解,0yy的梯形公式是无条件稳定的.(√)16.在常微分方程初值问题的数值解法中,不论单步法还是多步法,隐式公式比显式公式的稳定性好.(√)17.迭代法的基本问题是收敛性、收敛速度和计算效率.(√)18.在一元非线性方程的数值解法中,最有效的是Steffensen迭代法和Newton迭代法.前者不需要求导数,但不宜推广到多元的情形;后者需要求导数,但可直接推广到多元方程组.(√)19.常微分方程边值问题的差分法,就是将解空间和微分算子离散化、组成满足边值条件的差分方程组,求解此方程组,得到边值问题在节点上函数的近似值.(√)20.在求解非线性方程组时,在一定条件下映内性可保证不动点存在,因而也能保证唯一性.(×)四、线性代数方程组的数值解法1.用高斯消去法求解方程组bAx，即6123211413261225xxx（1）列出用增广矩阵bA,表示的计算过程及解向量x；（2）列出由此得到的Doolittle三角分解LUA中的三角阵L和U；（3）由U计算Adet。353252detAP65例3.2.1~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~2.用高斯消去法求解方程组bAx，即123711324211132xxx（1）列出用增广矩阵bA,表示的计算过程及解向量x；（2）列出由此得到的Doolittle三角分解LUA中的三角阵L和U；（3）由U计算Adet。解：方程组的增广矩阵231112423117第一次消元：消元因子71,723121ll，进行消元，得7177207807171672603117第二次消元：消元因子13432l，进行消元，得79121791196007171672603117回代得28311962173x，1492x，28191x易知1134710172001L，91217007167260117U62912177267detA~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~