积分不等式的证明方法

南通大学毕业论文1摘要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性南通大学毕业论文2ABSTRACTWhenwestudymathematics,theproofofintegerinequalityhasalwaysbeenseenasacomplexcontentbothindifficultyandskill．Inthispapertheproofmethodsofintegralinequalityareorganizedsystematicallytocombinetheknowledgeofelementarymathematicsandhighermathematicsbetter.Alsoourhorizonscanbebroadened,thinkingcanbedivergenciedandinnovationabilitycanbeimproved,soastoimproveourefficiencyofproblemsolving.Thepaperiscompletedbyreferringtorelevantliterature,comparingandanalysingrelatedcontent,complementingandpromotingrelatedcontent.Inthispaper,twoimportantintegralinequalitiesalongwiththeirproofmethodsaregivenfirst,andtheneightapproachestoproofintegralinequalitiesareintroduced,suchasconcavityandconvexityoffunction,methodofauxiliaryfunction,importantintegralinequality,integralmeanvaluetheorem,integralproperty,Taylorformula,doubleintegralanddifferentialmeanvaluetheorem.Finally,thefullpaperissummarized．Keywords:IntegralInequality,DefiniteIntegral,MeanValueTheorem,Cauchy-SchwarzInequality,Monotonicty南通大学毕业论文31.引言不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．南通大学毕业论文42.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．2.1Cauchy-Schwarz不等式无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间PF,,中的以及n维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．定理2.1[1]设()fx,()gx在[,]ab上连续,则有[()()bafxgxdx]2{2[()]bafxdx}{2[()]bagxdx}．证明：要证明原不等式成立,我们只需要证2220bbbaaafxdxgxdxfxgxdx成立．设222tttaaaFtfxdxgxdxfxgxdx,则只要证FbFa成立,由Ft在[,]ab上连续,在,ab内可导,得22222tttaaaFtftgxdxgtfxdxftgtfxgxdx22222taftgxftgtfxgxgtfxdx20taftgxgtfxdx．(2.1)由(2.1)式可知Ft在[,]ab上递增,由ba,知FbFa,故原不等式成立．证毕实际上关于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz不等式能够改写成以下行列式的形式南通大学毕业论文50bbaabbaafxfxdxgxfxdxfxgxdxgxgxdx,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出CauchySchwarz不等式的推广形式．定理2.2[2]设fx,gx,hx在,ab上可积,则0bbbaaabbbaaabbbaaafxfxdxgxfxdxhxfxdxfxgxdxgxgxdxhxgxdxfxhxdxgxhxdxhxhxdx．证明：对任意的实数1t,2t,3t,有2123batfxtgxthxdx222222123bbbaaatfxdxtgxdxthxdx1213232220bbbaaattfxgxdxttfxhxdxttgxhxdx．注意到关于1t,2t,3t的二次型实际上为半正定二次型,从而其系数矩阵行列式为2220bbbaaabbbaaabbbaaafxdxgxfxdxhxfxdxfxgxdxgxdxhxgxdxfxhxdxgxhxdxhxdx．证毕以上的推广是将Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young不等式,相较于Cauchy-Schwarz不等式我们对Young不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young不等式进行一些研究．2.2Young不等式Young不等式,以及和它相关的Minkowski不等式,HÖlder不等式,这些都是在现代分南通大学毕业论文6析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young不等式的证明．定理2.3[3]设()fx在[0,]c（0c）上连续且严格递增,若(0)0f,[0,]ac且[0,()]bfc,则100()()abfxdxfxdxab,其中1f是f的反函数,当且仅当()bfa时等号成立．证明：引辅助函数0()()agaabfxdx,(2.2)把0b看作参变量,由于()()gabfa,且f严格递增,于是当10()afb时,()0ga；当1()afb时,()0ga；当1()afb时,()0ga．因此当1()afb时,()ga取到g的最大值,即bfgxgag1max(2.3)由分部积分得11()()1100(())()()()fbfbgfbbfbfxdxxdfx,作代换()yfx,上面积分变为110(())()bgfbfydy,(2.4)将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得11000()()()abbabfxdxfydyfxdx,即100()()abfxdxfxdxab．证毕南通大学毕业论文73.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．3.1利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．定理3.1若t定义在间隔,mM内,且0t,则t必为下凸函数．定理3.2设fx在[,]ab上为可积分函数,而()mfxM．又设t在间隔mtM内为连续的下凸函数,则有不等式11bbaafxdxfxdxbaba．例3.1[4]设fx在,ab上连续,且0fx,求证：21bbaafxdxdxbafx．证明:取uu1,因为210uu,320uu,0u