窗函数比较

数字信号处理中加窗的影响及窗函数的选择原则分析摘要：简要介绍了数字信号处理中主要应用的几种窗函数的定义及特性，并分析了加窗在数字信号处理中对谱估计质量的影响，通过对不同信号加窗的分析，总结了窗函数的选择原则。最后谈谈关于本课程的一些理解和感想。关键字：数字信号；窗函数；谱估计；信号处理一、引言数字信号处理是当前信息处理技术一个十分活跃的分支，由于计算机和大规模集成电路技术的发展，使得它成为神经网络、故障诊断等现代科学技术领域中一种重要的工具。传统的信号处理主要是建立在连续时间信号和连续时间系统基础上的。数字信号处理则是研究用数字序列表示信号波形，并且用数字的方式去处理这些序列。由于数字信号处理具有完善的重现性和极高的稳定性，只要有足够的字长，就能实现高精度和大动态范围的信号处理。这就显示了模拟系统无法比拟的优越性[3]。在数字信号处理中，实际需检测的物理信号或过程通常是非时限的，但由于计算速度和处理工作量以及计算机存贮容量等方面的限制，我们只能从中选取有限时长的数据样本加以处理。也就是说在数字信号的处理过程中，原始的非时限信号必然要被截断，这相当于使本来无限长的原始数据序列通过一定的数据窗口，必然会对数据处理的结果造成不良的影响，即产生窗口效应。本文将就这种窗口效应以及为抑制这种效应、改善数据处理效果而合理应用窗函数的原则加以探讨[5]。二、几种典型的窗函数一些典型窗函数的时域和频域表达式及其构成思路归类叙述如下[1]：1、矩形窗（Rectangular窗）矩形窗属于时间变量为零次幂窗，函数形式为TtTtTtw,0;0,1)(相应的谱窗为TTWsin2)(矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使函数通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄露，甚至出现负谱现象。图1矩形窗2、三角形窗（Bartlett或Fejer窗）三角窗是幂窗的一次方形式，其定义为TtTtTtTt,0;0),1(1)(w谱窗为2)2/2/sin()(TTW三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。三角窗是改善边界连续性的最直观的一种窗。图2三角形窗3、汉宁窗（Hanning窗）又称升余弦窗，其时间函数为TtTtTtTt,0;),cos2121(1)(w其窗函数为TTTTTTW)sin()sin(21sin)(图3汉宁窗汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是3个sinc(t)函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了π/T，从而使旁瓣相互抵消，消去高频干扰和漏能。比较汉宁窗和矩形窗，从减小泄露观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨率下降。4、海明窗（Hamming窗）海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数TtTtTtTtw,0;),cos46.054.0(1)(其窗谱为TTTTTTW)sin()sin(46.0sin08.1(）海明窗和汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。5、指数窗其时间函数为0,00,0,)(wtatetat其窗谱为22)2(1)(fafW图4指数窗6、高斯窗高斯窗是一种指数窗，其时域函数为TtTtetat,0;,T1)(w式中a为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。高斯窗谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低，高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。在实际使用窗函数时，由于用二进制运算，乘法可以用移位相加进行，从而减小计算量及存储器。因此提出了用二进制表示系数加权序列。至此，我们在介绍窗函数的同时，也介绍构造窗函数的一些思路，即除直接利用简单函数外，还利用它们组构成窗。例如三角窗可看成是由两个矩形窗的线性卷积；Hanning窗是两个余弦窗之乘积；Hamming窗是矩形窗和Hanning窗之和。三、数字信号处理中加窗对谱估计质量的影响在进行信号x(n)的功率谱估计时,我们只能用测量得到的有限长度的信号xN(n)来进行计算,其结果只是真实功率谱的近似,即估计值。对信号截断,相当于对信号施加一窗函数。也就是说,在实际估计功率谱时,数据窗口是不可避免的（在用间接法估计功率谱时,由此数据窗产生的加在自相关函数上的延迟窗也是不可避免的）。设S(ω)为信号x(n)的真实功率谱,S’(ω)为其估计值,窗函数对谱估计质量的影响,表现在S’(ω)的频域分辨率和对S(ω)产生了“泄漏”[3]。1、对频域分辨率的影响S’(ω)的谱峰分辨率是指S’(ω)能保证真实谱S(ω)中两个靠得很近的谱峰能被分辨出来的能力。S’(ω)的分辨率取决于数据窗口的长度,即N值。以加矩形窗为例说明之。易知)(*)()]('[EWSS式中E[S’(ω)]——谱估计的均值；S(ω)——真实谱；W(ω)——由矩形窗产生的加在自相关函数上的三角窗(也叫延迟窗)的付氏变换。设x(t)=cosω0t，x(t)及其频谱S(ω)如图5所示，矩形窗函数及其延迟窗的频谱如图6所示。其中主瓣宽度为4π/N，S(ω)*W(ω)如图7所示。可见只有当2ω0≥4π/N时，两个谱峰才能被分辨出来，2ω0﹤4π/N时两个谱峰就分辨不出来。即S(ω)中的两个谱峰若要被分开，其距离一定要大于或等于4π/N，这样对数据的长度N就有要求。N越大，则4π/N越小，频域分辨率就越高。图5余弦函数及其频谱图6矩形窗及其延迟窗的频谱图7S(ω)*W(ω)频谱2、“泄漏”问题“泄漏”是指本来集中于某一频率的功率，部分被分散到该频率邻近频域。仍然可以从上例中看出，无限长度的余弦信号具有单一的频率，其双边功率谱是在±ω0处的两根对称分布的离散谱线，S(ω)*W(ω)卷积的结果使得S(ω)本来集中于±ω0处的功率被分散到±ω0邻近的频带中,使S(ω)产生了失真。其结果是:W(ω)中较大的边瓣有可能掩盖S(ω)中较小的谱峰，或者在S(ω)中产生本来不存在的谱峰。N越大，4π/N越小，“泄漏”越少。同时还可采取其它类型的窗函数来减小“泄漏”。四、窗函数的选用原则随着信号分析技术的发展，窗函数的应用也有很大的发展。在处理数据时，如何选用合适的窗函数呢？总的原则是[1]：1、要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，要使窗函数频谱中的主瓣宽度尽量窄，能量尽可能集中在主瓣内，从而在谱分析时获得较高的频率分辨力，在数字滤波器设计中获得较小的过渡带。2、窗谱的旁瓣高度应尽量小而且随频率尽快衰减，以减小谱估计时泄漏失真。在设计数字滤波器时减小通带的波动，提高阻带的衰减。但主瓣既窄，旁瓣又小衰减又快的窗函数是不容易找到的，比如矩形窗旁瓣很大，但其主瓣宽度是最窄的，因此，在数据处理时通常需要做综合考虑取其折中。3、在应用窗函数时，除了要考虑窗谱本身的特性外，还应当充分考虑被分析信号的特点以及具体的处理要求。要考虑信号中的信息量的分布，增强信号中所需要的信息部分，压制信号中不需要的信息部分，以人们感兴趣的有效信息与窗函数作用后的综台效果为最好来选用窗函数，使得处理结果有足够的频谱检测能力和频谱幅值估计精度。例如在需要测量物体的自振频率时等场合。如果要分析窄带信号且具有较强的干扰噪声时，则应选用旁瓣幅度较小的窗函数如Hamming窗等。如果干扰距离信号较远，则可以采用旁瓣衰减速度较快的窗函数如Papoulis窗等。4、信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。如对于频率分辨率要求很高，谱估计幅值精度要求不很高的信号，处理时可选用主瓣较窄而便于分辨的矩形窗，即所谓不加窗就是矩形窗；对于谱估计幅值精度要求高，频率分辨率要求不很高的信号，处理时可选用P201窗，对于频率分辨率要求高，靠得比较近又需要大动态范围的谱值作精确的幅值测量的信号，处理时选用P3Ol窗；对于要使旁辨减到最小的信号，处理时选用P31O窗；对于随时间衰减的信号如脉冲响应信号等，为提高信号的信噪比，处理时可选用指数窗。5、对于要处理的信号，不知选用哪一种时窗函数好时，往往多用几种窗函数进行处理，然后比较用几种窗处理的结果和试验验证的综合考虑来决定选用什么样的窗函数。五、结束语作为数字信号处理中的关键技术，窗效应以及合理应用窗函数是十分重要的问题。窗函数的选取要针对不同的信号和不同的处理日的才能收到好的效果。六、课程感悟本课程老师采用了一种实践工程经验结合课本理论知识的方法讲授，不得不说此方法对于作为学生的我来说收获比较大，学习到了很多在理论知识课堂上学不到的东西，比如很多工程经验。这对以后从事该方面的工作或者相关工作，是非常有帮助的。但我也该觉得其中有一些弊端，比如老师上课提的一些问题，可能对有些许工程经验的人来说还比较容易回答，但是对我们这种既没有工程经验，而且理论知识也还不非常牢固的学生来说，就有困难了。而且课程跳动性很大，吸收难度比较大。最后感谢杨老师这八个周来的悉心教导。我相信在您的指导下我们以后会走得更好。参考文献[1]毛青春.窗函数及其应用.中国水运.2007.[2]杨艳娟.窗函数的适用性分析.煤炭技术.2007.[3]樊淑趁.论数字信号处理中加窗的影响及窗函数的选择原则.山西矿业学院院报.1995.[4]李杭生.频谱分析中窗函数的研究.微计算机信息.2008.[5]郑星亮、程洁等.数字信号处理中的窗效应及窗函数的应用原则.北京联合大学学报.1997.[6]秦树人.机械工程测试原理与技术.重庆：重庆大学出版社.2005.