章建跃教授编后漫笔

章建跃简介章建跃，男，1958年8月4日出生，数学本科，北京师范大学课程与教学论（数学）硕士、发展与教育心理学博士。现任人民教育出版社中学数学室主任、资深编辑。人民教育出版社编审，课程教材研究所研究员。主要研究方向：数学教育心理学，中学数学课程及教材编写，数学课堂教学。社会兼职：中国教育学会中学数学教学专业委员会副理事长、学术委员会副主任（常务）；中国统计教育学会常务。“创造性使用教材”≠“脱离教材”章建跃本期刊登的文章中，有多篇文章不约而同地谈到要重视教材的问题。薛红霞以函数概念的教学为例，阐述了理解教材编写意图对于实现教学目标、提高课堂教学质量的重要意义；连春兴和王霞阐述了以“学案”引导学生阅读教材、开展探究性学习的做法；而对最容易脱离课本的高考复习，韦华荣也提出要以课本为依据、充分重视课本例习题的观点。这些观点值得重视。不过，在最近的大量课堂观察中（其中包括全国优质课评比活动中的课），我发现脱离课本进行教学的现象很普遍，这是令人担忧的。调研表明，出现脱离课本进行教学的原因主要有三个方面：第一，许多教师认为教材内容“简单”，不足以应付高考；第二，误解本次课改提倡的“不是教教材，而是用教材教”、要“创造性地使用教材”的真正意图；第三，许多教师不善于或不愿意花大力气研究教材。对上述问题，我有如下几点思考：首先，一定要正确理解“不是教教材，而是用教材教”的内涵，我认为这是针对“照本宣科”而言的，绝对不是提倡大家“脱离教材”进行教学（当然，某些“课改专家”确实提出过“教材仅仅是课程资源的一种”“教师是课程资源的开发主体”等，但实践证明，这些观点过于理想化了）。其次，“教材太简单，不足以应付高考”的观点是偏颇的。诚然，教材的“基础性”与高考的“选拔性”确有一定的目标差异，但学好教材一定是高考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。第三，理解教材是当好数学教师的前提，而“理解教材”的第一要义是“理解数学”：了解数学概念的背景，把握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，挖掘知识所蕴含的科学方法、理性思维过程和价值观资源，区分核心知识和非核心知识等。第四，要仔细分析教材编写意图：教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的。因此，在处理教材时，内容顺序的调整要十分小心（否则容易导致教学目标的偏离），例子可以根据学生基础和当地教学环境替换，但所换的例子要反映教科书的意图，要能承载书上例子的教学任务。在1999年出版的《数学教育心理学》中我曾说，“教之道在于‘度’，学之道在于‘悟’”。在课标教材实验过程中，许多老师觉得这个“度”不好把握。我认为这主要是对课标教材的研读还不够深入所致，不领悟教材就不可能把握好“度”。课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。二、“经验之中有规律”的教学涵义章建跃经验之中有规律，是我们认识问题的一般过程和方法，也阐明了一个简单但很深刻的教学原理。“经验”是具体的，“规律”则是抽象的。“规律”不是从天而降的，而是从具体经验中经过不断归纳、概括才能得到的。如何才能培养学生“从经验中发现规律”的能力呢？我想，如下两点很要紧：首先，要培养学生“从一般规律的高度考察具体事例”的意识，逐步养成“透过现象看本质”的习惯。这是观念问题，是思维习惯问题，也是思想方法问题，需要一个长期的、潜移默化的过程，需要有意识地培养。其次，要让学生掌握观察事例、从经验中归纳规律、把具体事例中得到的东西概括到全体中去的基本方法，使他们逐步学会归纳、学会抽象、学会概括，进而形成“从经验中发现规律”的能力。众所周知，“具体”中蕴含的信息具有丰富性、多样性，观察也可以有不同角度，因而从同一事例中可发现不同规律；同时，表面的东西大家都能看到，“藏”在背后的才有“含金量”。所以，面对具体事例，关键是“你怎么看？”这是看问题的角度、高度以及切入点，需要知识的支撑，还需要历练。学生经常出现“不是做不到，而是想不到”的尴尬，主要是他们的阅历还不足以使自己“想得到”。这似乎是一层“窗户纸”，但捅破它却并不容易，需要有数学知识、思想方法的灵活运用能力。例如对于公式1+2+…+n=，能将右边看成n个相加的结果，进而想到是数列1，2，…，n的“等差中项”，是这n个数的“平均数”，并最终形成对等差数列求和具有一般意义的“利用平均数，将求等差数列的前n项和转化为n个相同数的求和”，这就体现了看问题的高度，需要很好地把握等差数列的性质（特别是“当m+n=p+q时，am+an=ap+aq”）。把简单的事情搞清楚，并能从中发现规律，这是需要高层次思维和高水平能力的。再看“二项式定理”的例子。从乘法公式的角度，通过整式运算，学生在初中就知道(a+b)2=a2+2ab+b2和(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3。如何升华这些经验，使之能用于“归纳规律，获得猜想”呢？这里需要一个新的观察角度，要用排列组合的观点分析原始运算过程：对于(a+b)2=a2+2ab+b2，还原到(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2，分析展开式（从什么角度？），看项数、每一项的次数和系数。因为目标是要得到(a+b)n的展开式，因此要有“从特殊性中寻找一般性”的思想：n=2时，项数3，次数2，每一项的形式是a2-kbk（k=0，1，2）（这是“一般化”的观点，需要归纳，需要教师引导）。接下来的关键是要用组合知识对“如何获得展开式的某一项”作出解释。当k=0时，=a2，是由2个（a+b）都不选b得到的，相当于从2个（a+b）中取0个b（即都取a）的组合数；当k=1时，=ab，是由一个（a+b）选a，另一个（a+b）选b得到的，由于b选定后，a的选法就唯一确定，因此，ab出现的次数相当于从2个（a+b）中取1个b的组合数，即ab共有个；当k=2时，=b2，是由2个（a+b）都选b得到的，相当于从2个（a+b）中取2个b的组合数。最终有：。显然，学生具备上述分析过程中用到的所有知识，但他们缺“看问题的高度”，不会“从新角度看旧问题”。因此，为了有利于学生找到“规律”，需要进一步提供经验支持，即让学生仿照上述过程独立完成对，的展开式的探究。顺便提及，代数中的公式和定理，绝大部分都是用归纳法由低次到高次，由一元、二元到多元逐步归纳而发现，然后再用归纳论证去确立其正确性。因此，代数教学中，一定要强调让学生积累“归纳地去探索、发现，再归纳地定义、归纳地论证”的经验。三、“增效、减负”──数学教师的责任与使命章建跃本期我们刊登了我国老一辈数学教育工作者、已近88岁高龄的陈振宣先生的《建议开展增效与减负的大讨论》一文。陈先生是我国改革开放后中学数学教育改革的积极倡导者，也是义无反顾的改革实践者，相信熟悉我国数学教改的读者，对他早在上世纪80年代初提出的在中学数学中引入向量，以向量为抓手改革三角、平面解析几何、立体几何等教学内容的思想及其实践一定记忆犹新。本文他又以一位中学数学教育前辈的高度责任感，针对积重难返的“学习负担过重”问题，呼吁开展“增效与减负”大讨论。陈先生认为，造成“负担过重”的原因主要有如下几方面：第一，教材的体系不科学，不能显示知识的内在道理，不能展示知识的“发明本源”，“在教材建设中光做减法，甚至不惜破坏数学的科学体系，硬性规定减少教学课时”而违背了科学发展观；第二，违背数学教育规律，不重视数学思维方法的教学，以“题海”代替数学思维基本功训练，试图“以多取胜”；第三，粗制滥造、质量低劣、错误百出的教辅资料泛滥，直接加剧“负担过重”；第四，考试制度改革、高考命题改革与课程教材改革相分离，迫使学生为高考分数而大量做高考模拟卷，催生了与模拟卷相关的“利益链”；第五，“数学是进大学的敲门砖”的急功近利思想，导致对数学教育功能的认识偏差，是造成“负担过重”的思想根源。陈先生的剖析可谓鞭辟入里、一针见血。他还提出了许多扭转负担过重现象的措施，指出关键是要采取切实措施激发学生的学习兴趣、改进学习方法，认为这是一条数学教学的“公理”。温总理在《政府工作报告》中提出，今年教育要重点抓好的工作之一是推进素质教育，“各级各类教育都要着眼于促进人的全面发展，加快课程、教材、教育方法和考试评价制度改革，把中小学生从过重的课业负担中解放出来，让学生有更多的时间思考、实践、创造。”说明“负担过重”已引起中央的高度关注，并要从教育改革入手解决之。但平心而论，“负担过重”是社会、各级教育管理部门、学校、家长的“合力”所致，教育功利化等现象是我国社会发展现状在教育领域的客观反映，因此解决这一问题难度很大。不过，作为一名着眼于学生发展、懂得教育教学规律的教师，必须意识到这种现象是不正常的。教育的要义是教学生做人、做事，教育应当充满理想化色彩，教育必须远离功利。实事求是地说，数学学科的题海最大、最深，在造成学生“负担过重”中难辞其咎。同时，大量优秀数学教师的实践表明，只要不断提高自己的教师专业化素养，坚持不懈地改进教学方法，就一定能使学生脱离题海的苦难，学得轻松且成绩卓越。因此，“增效减负”是时代发展赋予广大数学教师的责任和使命。希望大家积极参与讨论，为增效减负献计献策。愿我们共同努力，不辱使命。四、从整体性上把握好数学内容章建跃刘春艳老师在“平面向量的数量积”教后反思中谈到，由于“整体意识”不够，降低了对引入数量积概念的必要性及其作用的关注度，致使教学就事论事，缺乏应有的瞻前顾后。刘老师的反思切中要害，也是当前课堂教学需要关注的普遍问题。强调把握好数学内容的整体性，是由数学的学科特点决定的。这种整体性，包括内容的整体结构（概念及其相互联系），以及前后一致的由内容反映的数学思想方法。向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一。将它引入高中数学，主要目的是为了沟通代数、几何与三角函数，使学生在了解向量的几何背景和物理背景，理解向量及其运算的意义的基础上，学会用向量的语言和方法表述和解决几何或物理中的一些问题。从整体上看，为了解决几何问题，必须先用向量及其运算表示几何元素、相互关系和基本几何量。空间最基本原始的概念是位置，有向线段描述了A，B两点所标记的两个位置间的差别；自由向量是将这种“位置差别”定量化的一个基本几何量，其本质内涵是的方向与长度，即认为方向相同长度相等的两个向量是相等的。另一方面，从代数角度考虑，“引进一个量就要定义它的运算；定义一种运算就要研究它的运算律”。因此，引进向量后，要定义向量的加法、数乘运算和数量积。这样定义满足了“几何元素的向量表示”的要求：设直线l的方向向量为e，A是l上的定点，则直线l上任一点X可定量表示为：+te（O是平面内的任意一点）；设e1，e2是平面α上两个不共线向量，A是α上的定点，则α上每一点X可定量表示为：+k1e1+k2e2（O是空间任意一点）；两个不平行向量的“位置差别”由它们的夹角定量表示，向量的模表示了它的长度，而数量积则提供了表达、计算长度、角度的公式。考察向量运算律的几何意义，可以发现空间的基本性质和几何的基本定理都能有系统地转换成向量代数中的运算律。例如：平面几何关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之间的转换，其“向量表示”就是向量加法的交换律；相似三角形定理用向量数乘运算来表达就是数乘分配律；长度和角度的基本定理，即勾股定理和余弦定理，可用向量的数量积来有效地计算，而数量积的分配律则是勾股定理的提升和精简所得，也可以说是勾股定理代数化的最佳形式（项武义）。总之，向量及其运算提供了表达、计算各种几何量的代数工具，而且向量运算律本身也是一套完美精简的几何基本定理。把握住这些，就执住了向量教学的牛耳。日常教学，概念一个个地教，定理一个个地学，容易迷失在局部，见木不见林。长此以往就会导致坐井观天、思路狭窄、思维呆板，局限于一招一式的雕虫小技而不能自拔。把握好整体性，对内容的系统结构了如指掌，心中有一张“联络图”，才能把准教学的大方向，才能使教学有的放矢。也只有这样，才能使学生学到结构化的、联系紧密的、迁移能力强的知识。五、改变习惯从加深理解内容开始章建跃本期刊登了王能斌的《对三角函