第12初等变换与初等矩阵

2019/12/20(共18页)1第1.2节:初等变换与初等矩阵1.2.1初等变换1.2.2初等矩阵及其性质1.2.3初等变换与逆矩阵2019/12/20(共18页)2线性方程组的同解变换对于(1.1)式所示的线性方程组,可做如下的三种变换:(1)互换两个方程的位置;(2)把某一个方程两边同乘以一个非零常数c;(3)将某一个方程加上另一个方程的k倍.称为线性方程组的初等变换.以上初等变换是可逆的.这个定理在矩阵中如何体现呢？mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa....................................................22112222212111212111(1.1)1.2.1:初等变换初等行变换row初等列变换column交换i,j两行数乘第i行数乘第i行加到第j行ijrrikrjirkr交换i,j两列数乘第i列数乘第i列加到第j列ijccikcjickc2019/12/20(共18页)4矩阵A经过初等变换后化为矩阵B,表示为:习惯上,在箭头上面写出行变换,在箭头的下面写出列变换.例如：AB2312312321022xxxxxxxx123021111102112xxx021111102112例1.7(P12)02111110211212rr111002112112312rr11100211033232rr11100211012323rr111001230211322rr111001230037初等变换把矩阵变成行阶梯形，得到它代表的同解方程组12323302337xxxxxx2019/12/20(共18页)61.2.2:定义1.10由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有三种类型:(1)对调E中第i,j行,得到的矩阵记为:Rij;对调E中的第i,j列,得到的矩阵记为:Cij.故:1010111ijijRijCij==初等矩阵及其性质2019/12/20(共18页)7(2)用不为零的数λ乘以E中的第i行,得到的矩阵记为Ri(λ);用不为零的数λ乘以E中的第i列,得到的矩阵记为Ci(λ).1111Ri(λ)Ci(λ)==λii2019/12/20(共18页)8(3)以数λ乘以E中的第i行加到第j行上去,得到的矩阵，记为Rij(λ);以数λ乘以E中的第j列加到第i列上去,得到的矩阵,记为Cji(λ),则有:1111λRij(λ)Cji(λ)==ijij2019/12/20(共18页)9初等矩阵是可逆的,并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵,易验证:1)Rij-1=Rij；2)(Ri(λ))-1=Ri(1/λ)；3)(Rij(λ))-1=Rij(-λ).定理1.2有限个初等矩阵的乘积必可逆.用初等矩阵左乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等行变换。用初等矩阵右乘某矩阵，其结果等于对该矩阵作相应的初等列变换.(初等矩阵与初等变换的关系,左行右列)Example2019/12/20(共18页)10不难证明下面的一般结论:Ri(c)A表示A的第i行乘c;Rij(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;RijA表示A的第i行与第j行对换位置;BCi(c)表示B的第i列乘c;BCij(c)表示B的第i列乘c加至第j列;BCij表示B的第i列与第j列对换位置.2019/12/20(共18页)11定理:可逆矩阵经过有限次初等变换得到的矩阵仍然是可逆阵.(证明)定理1.3可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵.(P14)(证明)定理1.4方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积.（证明）一般地,矩阵A经过有限次初等变换后得到B,可以记为B=PAQ,其中P是有限次初等行变换所对应的初等矩阵的乘积,Q是有限次初等列变换所对应的初等矩阵的乘积.2019/12/20(共18页)121.2.3:由定理1.4可知,可逆矩阵A可以分解成若干初等矩阵的乘积,设:A=P1P2….Pt则有:上两式表明,对矩阵A与E施行同样的行变换,在把A化成单位矩阵时,E同时就化成A-1,因此,通常将A与E按照行的方向组合成一个大矩阵,对大矩阵施行同样的行变换,即得:Pt-1……P2-1P1-1A=E,且Pt-1……P2-1P1-1E=A-1初等变换与逆矩阵Pt-1……P2-1P1-1(AE)=(EA-1)设A=，解1431312511001430101310012511521000211100115301152100152100021110010251010251021110求A－１.r2+r1r3-3r1r3+5r223rr例1.8所以A－1=1521001521000102510102510015112001511210013101025100151122115152131322rr3(1)r131225rrrr例求矩阵的逆。123221343A解212rr313rr12310022101034300112310002521002630112rr32rr102110025210001111132rr235rr1001320203650011111001323501032200111121()2r3(1)r113235322111A2019/12/20(共18页)16同理,可以用初等列变换来求逆矩阵,在这样做时,应是对形为:A…E的矩阵作初等列变换,在将A化为E的同时,E就变成了所要求的逆矩阵A-1.(求逆矩阵的过程中,初等行与列变换不能混用.)练习1.利用初等行变换求矩阵A的逆矩阵,其中121342541A解:213135121100121100:3420100213105410010146501rrrrAE32132371211001201571021310020136100116710011671rrrrrr21231()2(1)100210100210131020136101032200116710011671rrrr2:设A是n阶可逆方阵，将A的第i行和第j行对换后得到的矩阵记为B.(1)证明B可逆.(2)求AB-1.(97，一)证明:(1):B=RijA(其中Rij为对调单位矩阵E中的第i,j行所得到的矩阵)又因为A可逆，Rij也可逆。所以，RijA可逆，即矩阵B可逆，且等于B-1=A-1Rij-1(2):AB-1=AA-1Rij-1=Rij.2019/12/20(共18页)19初等变换与初等矩阵小结线性方程组的同解变换矩阵的初等变换初等矩阵初等行（列）变换求逆矩阵ijrrikrjirkrRij=CijRi(λ)=Ci(λ)Rij(λ)=Cij(λ)(1):AE(2):AE作业P39-40:1.7.(2),(3);1.8(2).1111210,?110AA2.设求31213232(1)(1)(3)(2)12131213123123135012159159123121121012010010036030000(1)(1)(1)(rrrrrrccABARARRAR例其过程可看成1223231312231)(1)(2)(3)(1)(1)(2)RACRRRACBBACK2019/12/20(共18页)22行阶梯形矩阵称满足下列两个条件的矩阵为行阶梯形矩阵：1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；2）各非零行的首个非零元位于前一行首非零元之右.4000031000232001001012310014000200000121000500002121011100120005如BACKBACK证明：设A可逆，B=PAQ，P、Q分别为有限个初等矩阵的乘积，因而可逆，由逆方阵的性质可知B可逆，且有：B-1=Q-1A-1P-1BACK定理1.4方阵P为可逆阵的充分必要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积12211111112121,,,,,,tttFFFFFPEPFFFFFFt使得F从而有其中都是初等矩阵.必要性，由定理1.4可知，可逆方阵P可以经过有限次行的初等变换化成单位矩阵E,则由定理1.2知：存在初等矩阵证明：充分性，如果方阵P可以表示为有限个初等矩阵的乘积，则由定理1.2的结论，P为可逆。BACK定理1.3可逆矩阵可以经过有限次初等行变换化为单位阵。证明设A为n阶可逆矩阵。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa因为A是可逆矩阵，所以A第一列不能全为零。这样就可以通过初等行变换将第一行第一列的元素变为不等于零。再对第一行第一列乘以适当的系数，可以把第一行第一列的元素变为1。再用适当的倍数加到其他行。使得第一列的其他元素都是零，得到如下形式的矩阵：1212222100nnnnnbbbbBbb由可逆性知b22,…,bn2中至少有一个不为零。（如果不是这样，则将B的第一列乘以（-b12）加到第二列中，则第二列全为零，这与逆矩阵的性质相矛盾。）。这样就可以通过初等变换将第二行第二列的元素变为不等于零。再对第二行第二列乘以适当的系数，可以把第二行第二列的元素变为1。再将第二行乘以适当的数加到下面各行。得到矩阵：BACK类似地可以证明，C33,…,Cn3中至少有一个不为零。并通过适当的行变换将第三行第三列的元素变为1，气候各行的元素全部变为零。重复下去，最后可以将矩阵A变为上三角矩阵形式：1213123233331010000nnnnnnCCCCCCCCCCBACK1**01*001将此上三角阵的第n行乘以适当参数，加到上面各行中，可以使第n列的非角元素全变为零：第n-1行乘以适当的数，加到上面各行中，可以使第n-1列的非对角元素全变为零；依此类推，最后可以得到单位阵。BACK