第12讲平面向量

1第12讲平面向量【考纲解读】9.平面向量（1）平面向量的实际背景及基本概念①了解向量的实际背景．②理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．③理解向量的几何表示．（2）向量的线性运算①掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．②掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义．③了解向量线性运算的性质及其几何意义．（3）平面向量的基本定理及坐标表示①了解平面向量的基本定理及其意义．②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．（4）平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．②了解平面向量的数量积与向量投影的关系．③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．（5）向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．②会用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题．【知识要点】1.向量的有关概念（1）向量（2）单位向量（3）零向量（4）共线（平行）向量2.向量的线性运算（1）加法（2）减法（3）数乘向量（4）向量基本定理3.向量的数量积2121cosyyxxbaba4.向量的应用（1）工具：解决三角形问题，平面几何问题等等（2）求夹角，距离，平行，垂直的问题【典例精讲】考点一平面向量的概念例1．（2013四川理12）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，ABADAO，则__________练习1.1（15年新课标2理）设向量a，b不平行，向量ab与2ab平行，则实数_________．【答案】12【解析】因为向量ab与2ab平行，所以2abkab（），则12,kk，所以12．2练习1.2（2015新课标1理7）设D为错误!未找到引用源。ABC所在平面内一点CDBC3，则（A）ACABAD3431(B)ACABAD3431（C）ACABAD3134错误!未找到引用源。(D)ACABAD3134考点二平面向量的线性运算例2．（2013广东文科10）设是已知的平面向量且0.关于向量的分解，有如下四个命题：①给定向量b,总存在向量c，使abc；②给定向量b和c,总存在实数和，使abc；③给定向量b和正数，总存在单位向量c,使abc；④给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c,使abc.上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是A.1B.2C.3D.4练习2.1（2013北京理13）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ,μ∈R)，则=练习2.2（2013陕西文科2）已知向量(1,),(,2)ambm,若a//b,则实数m等于(A)2(B)2(C)2或2(D)0考点三平面向量的数量积例3(2013山东理科15)已知向量ACAB,的夹角1200，且2,3ACAB，若ACABAP，且BCAP，则实数的值为_____.练习3.1（2009安徽卷理）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120o.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若,OCxOAyOB其中,xyR,则xy的最大值是________.3.2（2013安徽理科9）在平面直角坐标系中，o是坐标原点，两定点,AB满足2,OAOBOAOB则点集,1,,|POPOAOBR所表示的区域的面积是（A）22（B）23（C）42（D）433.3(2013湖北理科6)已知点(1,1)(1,2)(2,1)(3,4)ABCD、、、，则向量AB在CD方向上的投影为（）A.322B.3152C.322D.31523考点四平面向量的垂直与平行问题例4已知向量(1,2)a，(2,3)b．若向量c满足()//cab，()cab，则c（）A．77(,)93B．77(,)39C．77(,)39D．77(,)93练习4.1（2013安徽文科13）若非零向量a，b满足|a|=3|b|=|a+2b|，则a与b夹角的余弦值为_______。4.2(2013浙江理科17)设12ee，为单位向量，非零向量12bxeye，x，yR．若12ee，的夹角为6，则||||xb的最大值等于．考点五平面向量与三角函数的综合例5(2013辽宁理科（17）（本小题满分12分）设向量(3sin,sin),(cos,sin)axxbxx，[0,].2x（I）若||||ab，求x的值；（II）设函数()fxab，求()fx的最大值。练习5一质点受到平面上的三个力123,,FFF（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知1F，2F成060角，且1F，2F的大小分别为2和4，则3F的大小为()2.A.6B.2C.25D.27考点六平面向量的创新题目例6.(2011福建理)设V是全体平面向量构成的集合，若映射:fVR满足：对任意向量11,xya∈V，22,xyVb，以及任意∈R，均有((1))()(1)(),fffa+bab则称映射f具有性质P.现给出如下映射：①11:,(),(,);fVfxyxyVRmm②222:,(),(,);fVfxyxyVRmm③33:,()1,(,).fVfxyxyVRmm其中，具有性质P的映射的序号为________.（写出所有具有性质P的映射的序号）练习6.(2012山东理)如下图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在0,1，此时圆上一点P的位置在0,0，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于2,1时，OP的坐标为______________.4【基础夯实】1.（2015新课标1文科2、已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC，则向量BC（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)2.（2013陕西理科3.设a,b为向量,则“||||||aabb·”是“a//b”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件3.(2010安徽理)设向量10a，，1122b，，则下列结论中正确的是A、abB、22abC、ab与b垂直D、a∥b4.(2010山东文)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的()()mnpq，，ab．令a⊙b=npmq,下面说法错误的是（A）若a与b共线，则a⊙0b（B）a⊙bb⊙a（C）对任意的()R，有a⊙(ba⊙)b（D）(a⊙222)()||||babab5.（15北京文科）设a，b是非零向量，“abab”是“//ab”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：||||cos,ababab，由已知得cos,1ab，即,0ab，//ab.而当//ab时，,ab还可能是，此时||||abab，故“abab”是“//ab”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.6.(2012重庆理)设,xyR，向量(,1)ax，(1,)by，(2,4)c，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|＝（）.（A）5（B）10（C）25（D）7.(2012天津理)已知ABC为等边三角形，2AB，设点PQ，满足APAB，(1)AQAC，R，若32BQCP，则（）.（A）21（B）221（C）2101（D）22238.(2012浙江理)设,ab是两个非零向量（）.（A）若a+bab，则ab（B）若ab，则a+bab（C）若a+bab，则存在实数，使得ba（D）若存在实数，使得ba，则a+bab59.在ABC△中，ABc，ACb．若点D满足2BDDC，则AD（）A．2133bcB．5233cbC．2133bcD．1233bc10.（15年新课标2文科）已知1,1a,1,2b,则(2)aba（）A．1B．0C．1D．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得22a,3,ab所以222431abaaab.故选C.考点：向量数量积.11.（15年安徽文科）ABC是边长为2的等边三角形，已知向量ba、满足aAB2，baAC2，则下列结论中正确的是。（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b为单位向量；③ba；④BCb//；⑤BCba)4(。【答案】①④⑤【解析】试题分析：∵等边三角形ABC的边长为2,aAB2∴AB＝2a＝21a,故①正确；∵BCaBCABAC2∴2bbBC，故②错误，④正确；由于babBCaAB与,2夹角为120，故③错误；又∵04)21(2144)4()4(2bbabbaBCba∴BCba)4(，故⑤正确因此，正确的编号是①④⑤.考点：1.平面向量的基本概念；2.平面向量的性质.12.（15北京理科）在ABC△中，点M，N满足2AMMC，BNNC．若MNxAByAC，则x；y．【答案】11,26【解析】试题分析：特殊化，不妨设,4,3ACABABAC，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，3(0,0),(0,2),(0,3),(4,0),(2,)2AMCBN，1(2,),(4,0),2MNAB(0,3)AC，则1(2,)(4,0)(0,3)2xy，11142,3,,226xyxy.考点：平面向量13.(2013重庆文科14）OA为边，OB为对角线的矩形中，(3,1)OA，(2,)OBk，则实数k．【答案】4．14.(2013江苏10．设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD21，BCBE32，若ACABDE21（21，为实数），则21的值为．6【答案】1215.(2010江苏)（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1）．（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；（2）设实数t满足（ABtOC）·OC=0，求t的值．【能力提升】1.（15年广东文科）在平面直角坐标系xy中，已知四边形CD是平行四边形，1,2，D2,1，则DC（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】试题分析：因为四边形CD是平行四边形，所以CD1,22,13,1，所以DC23115，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．2.(2013福建理科7.在四边形ABCD中，)2,1(AC，)2,4(BD,则该四边形的面积为（）A.5B.52C.5D.103.(2013湖南理科6.已知,ab是单位向量，0ba.若向量c满足1,cabc则的取值范围是A．2-1,2+1，B．2-1,2+2，C．1,2+1，D．1,2+2，4.（15年福建文科）设(1,2)a，(1,1)b，cakb．若bc，则实数k的值等于（）A．32B．53C．53D．32【答案】A考点：平面向量数量积．5.（15年陕西理科）对任意向量,ab，下列关系式中不恒成立的是（）A．||||||ababB．||||||||ababC．22()||ababD．22()()ababab【答案】B