第15章力法.

第15章力法15.1超静定结构的概念15.2力法的基本原理15.3超静定次数的确定与基本结构15.4力法典型方程15.5力法计算的应用15.6对称性的利用第15章力法学习目标•通过本章的学习，熟悉超静定结构的概念，掌握力法的基本原理、力法典型方程，能够进行力法计算的应用。15.1超静定结构的概念支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一确定。是没有多余联系的几何不变体系。支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一确定，是有多余联系的几何不变体系。（1）静定结构（2）静定结构静定刚架超静定刚架有多余联系是超静定结构区别于静定结构的基本特性15.2力法的基本原理去掉多余联系用多余未知力来代替后得到的静定结构称为：按力法计算的基本结构15.2.1力法的基本结构现在要设法解出基本结构的多余力X1，一旦求得多余力X1，就可在基本结构上用静力平衡条件求出原结构的所有反力和内力。因此多余力是最基本的未知力，又可称为力法的基本未知量。但是这个基本未知量X1不能用静力平衡条件求出，而必须根据基本结构的受力和变形与原结构相同的原则来确定。15.2.2力法的基本未知量用来确定X1的条件是：基本结构在原有荷载和多余力共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静力平衡条件和变形协调条件11110P15.2.3力法的基本方程若以11表示X1为单位力（即1=1）时，基本结构在X1作用点沿X1方向产生的位移，则有11=11X1,于是上式可写成11110PX1111PX－X(a)式(a)就是根据原结构的变形条件建立的用以确定X1的变形协调方程，即为力法基本方程。为了具体计算位移11和1p，分别绘出基本结构的单位弯矩图1（由单位力X1=1产生）和荷载弯矩图Mp（由荷载q产生），分别如图(a)(b)所示,M用图乘法计算这些位移23111112233MMllldxEIEIEI24111133248PPMMqllqldxlEIEIEI因此可解出多余力X14311113/838PqllqlXEIEI23111112233MMllldxEIEIEI24111133248PPMMqllqldxlEIEIEI4311113/838PqllqlXEIEI多余力X1求出后，其余所有反力和内力都可用静力平衡条件确定。超静定结构的最后弯矩图M，可利用已经绘出的1和Mp图按叠加原理绘出，即M11PMMXM应用上式绘制弯矩图时，可将1图的纵标乘以X1倍，再与Mp图的相应纵标叠加，即可绘出M图如图(c)所示。MM综上所述可知,力法是以多余力作为基本未知量，取去掉多余联系后的静定结构为基本结构，并根据去掉多余联系处的已知位移条件建立基本方程，将多余力首先求出，而以后的计算即与静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。15.3超静定次数的确定与基本结构超静定次数：多余联系的数目或多余未知力的数目确定超静定次数最直接的方法就是在原结构上去掉多余联系，直至超静定结构变成静定结构，所去掉的多余联系的数目，就是原结构的超静定次数。从超静定结构上去掉多余联系的方式有以下几种：（1）去掉支座处的支杆或切断一根链杆，相当下去掉一个联系，如图(a)(b)所示；（2）撤去一个铰支座或撤去一个单铰，相当于去掉二个联系，如图(c)(d)所示；（3）切断一根梁式杆或去掉一个固定支座，相当于去掉三个联系，如图(e)所示；（4）将一刚结点改为单铰联结成或将一个固定支座改为固定铰支座，相当于去掉一个联系，如图(f)所示。对于同一个超静定结构，可用各种不同的方式去掉多余联系而得到不同的静定结构。因此在力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的形式。但应注意，去掉多余联系后，为了保证基本结构的几何不变性，有时结构中的某些联系是不能去掉的。如下图(a)所示刚架，具有一个多余联系。若将横梁某处改为铰接，即相当于去掉一个联系得到图(b)所示静定结构；当去掉B支座的水平链杆则得到图(c)所示静定结构，它们都可作为基本结构。若去掉A支座的竖向链杆或B支座的竖向链杆，即成瞬变体系[图(d)]所示，显然是不允许的，当然也就不能作为基本结构。图(a)所示超静定结构属内部超静定结构，因此，只能在结构内部去掉多余联系得基本结构，如图(b)所示。对于具有多个框格的结构，按框格的数目来确定超静定的次数是较方便的。一个封闭的无铰框格，其超静定次数等于3，故当一个结构有n个封闭无铰框格时，其超静定次数等于3n。如下图(a)所示结构的超静定次数等于3×8=24。当结构的某些结点为铰接时，则一个单铰减少一个超静定次数。下图(b)所示结构的超静定次数等于：3×8-5=19。15.4力法典型方程用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力法的基本方程，以求解多余力。对于多次超静定结构，其计算原理与一次超静定结构完全相同。图(a)所示为一个三次超静定结构，在荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。用力法求解时，去掉支座C的三个多余联系，并以相应的多余力X1、X2和X3代替所去联系的作用，则得到图(b)所示的基本结构上，也必须与原结构变形相符，在C点处沿多余力X1、X2和X3方向的相应位移△1、△2和△3都应等于零。根据叠加原理，可将基本结构满足的位移条件表示为：111112213310PXXX221122223320PXXX331132233330PXXX这就是求解多余力X1、X2和X3所要建立的力法方程其物理意义是：在基本结构中，由于全部多余力和已知荷载的共同作用，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相等用同样的分析方法，我们可以建立力法的一般方程。对于n次超静定结构，用力法计算时，可去掉n个多余联系得到静定的基本结构，在去掉的n个多余联系处代之以n个多余未知力。当原结构在去掉多余联系处的位移为零时，相应地也就有n个已知的位移条件：i=0(i=1,2,…,n)据此可以建立n个关于求解多余力的方程1111122133XXX110nnPX…112233nnnnXXX0nnnnPX…2211222233XXX220nnPX……在上列方程中，从左上方至右下方的主对角线（自左上方的11至右下方的nn）上的系数ii称为主系数。ij称为副系数，M它可利用i图Mj图图乘求得。根据位移互等定理可知副系数ij与ji是相等，即ij=ji。该方程称为力法的典型方程按前面求静定结构位移的方法求得典型方程中的系数和自由项后，即可解得多余力Xi。然后可按照静定结构的分析方法求得原结构的全部反力和内力。或按下述叠加公式求出弯矩1212MXMXMnnPXMM…再根据平衡条件可求得其剪力和轴力。15.5力法的计算步骤和举例力法计算超静定结构的步骤1.去掉原结构的多余联系得到一个静定的基本结构，并以多余力代替相应多余联系的作用。2.建立力法典型方程。根据基本结构在多余力和原荷载的共同作用下，在去掉多余联系处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程3.求系数和自由项4.解典型方程，求出多余未知力。5.绘出原结构最后内力图。【例15-2】试分析图(a)所示刚架，EI=常数。【解】：（1）确定超静定次数，选取基本结构此刚架具有一个多余联系，是一次超静定结构，去掉支座链杆C即为静定结构，并用X1代替支座链杆C的作用，得基本结构如图(b)所示。（2）建立力法典型方程原结构在支座C处的竖向位移1=0。根据位移条件可得力法的典型方程如下：11110PX（3）求系数和自由项(a)所示，再作荷载单独作用于基本结构时的弯矩图Mp图如图(b)所示.然后利用图乘法求系数和自由项首先作I=1单独作用于基本结构的弯矩图1图如图XM11112256444444233EIEI1111280804433PEIEI（4）求解多余力将11、1p代人典型方程有12561280033XEIEI解方程得15XkN（正值说明实际方向与基本结构上假设的X1方向相同，即垂直向上）。M（5）绘制最后弯矩图各杆端弯矩可按PMXM11计算，最后弯矩图如图(c)所示。至于剪力图和轴力图，在多余力求出后，可直接按作静定结构剪力图和轴力图的方法作出，如图(a)(b)所示。【例15-2】试分析图(a)所示刚架，EI=常数【解】：（1）确定超静定次数，选取基本结构此刚架是两次超静定的。去掉刚架B处的两根支座链杆，代以多余力X1和X2，得到图(b)所示的基本结构。（2）建立力法典型方程11112210PXX21122220PXX（3）绘出各单位弯矩和荷载弯矩图如图(a)(b)(c)所示。利用图乘法求得各系数和自由项231112233aaaEIEI2322212172236aaaaaEIEIEI231221122aaaEIEI2311224PaPaPaEIEI23211515322226296PPaaaPaPaaEIEIEI（4）求解多余力将以上系数和自由项代人典型方程并消去3aEI，得12110324PXX12175302696PXX解联立方程，得1980XP21740XP（5）作最后弯矩图及剪力图、轴力图，如图(d)(e)(f)所示。15.6对称性的利用用力法解算超静定结构时，结构的超静定次数愈高，多余未知力就愈多，计算工作量也就愈大。但在实际的建筑结构工程中，很多结构是对称的，我们可利用结构的对称性，适当地选取基本结构，使力法典型方程中尽可能多的副系数等于零，从而使计算工作得到简化。当结构的几何形状、支座情况、杆件的截面及弹性模量等均对称于某一几何轴线时，则称此结构为对称结构。如图a所示刚架为对称结构，可选取图b所示的基本结构，即在对称轴处切开，以多余未知力x1,x2,x3来代替所去掉的三个多余联系。相应的单位力弯矩图如图c,d,e所示，其中x1和x2为对称未知力；x3为反对称的未知力，显然1,2图是对称图形；3是反对称图形。MM由图形相乘可知：1313310MMdsEI2323320MMdsEIM故力法典型方程简化为11112210Pxx21122220Pxx33330Px由此可知，力法典型方程将分成两组：一组只包含对称的未知力，即x1,x2；另一组只包含反对称的未知力x3。因此，解方程组的工作得到简化。非对称的外荷载可分解为对称的和反对称的两种情况的叠加（如图f.a.b）＝＋（1）外荷载对称时，使基本结构产生的弯矩图Mp是对称的，则得/330PPMMdsEI从而得x3=0。这时只要计算对称多余未知力x1和x2。（2）外荷载反对称时使基本结构产生的弯矩图Mp是反对称的，则得//110PPMMdsEI//220PPMMdsEI从而得X1=X2=0这时，只要计算反对称的多余未知力X3..从上述分析可得到如下结论：1.在计算对称结构时，如果选取的多余未知力中一部分是对称的，另一部分是反对称的。则力法方程将分为两组：一组只包含对称未知力；另一组只包含反对称未知力。2.结构对称，若外荷载不对称时，可将外荷载分解为对称荷载和反对称荷载，而分别计算然后叠加。这时，在对称荷载作用下，反对称未知力为零，即只产生对称内力及变形；在反对称荷载作用下，对称未知力为零，即只产生反对称内力及变形。【例15-3】利用对