第16章虚位移原理.

理论力学电子教程第十六章虚位移原理第十六章虚位移原理第一节基本概念第二节虚位移原理及其应用理论力学电子教程第十六章虚位移原理虚位移原理应用功的概念分析系统的平衡问题，是研究静力学平衡问题的另一途径。第一节基本概念一、约束及分类约束：限制质点或质点系运动的条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程称为约束方程。理论力学电子教程第十六章虚位移原理（1）几何约束和运动约束几何约束：限制质点或质点系在空间的几何位置的条件。如图1所示的平面单摆，其约束方程可表示为oyx),(yxA图1222lyx理论力学电子教程第十六章虚位移原理又如图2所示的曲柄连杆机构，其约束方程则为222ayxAA222)()(byyxxABAB0By运动约束：约束对质点或质点系的运动进行限制的条件。如车轮沿直线轨道作纯滚动，如图3所示。Oyxba),(AAyxA),(BByxB图2理论力学电子教程第十六章虚位移原理rovoyx图3ryo其几何约束为0rvo)0(rxo运动约束为（2）定常约束和非定常约束定常约束：约束条件不随时间改变的约束。如图1、2、3中各例的约束条件皆不随时间变化，它们均是定常约束。理论力学电子教程第十六章虚位移原理非定常约束：约束条件随时间而改变的约束。如图4所示，重物由一条穿过固定圆环的细绳系住。设初始摆长为，匀速拉动绳子。0lv2022)(vtlyx方程中显含时间，此约束为非定常约束。toyx),(yxMlv图4其约束方程为理论力学电子教程第十六章虚位移原理（3）单侧约束和双侧的约束单侧约束（单面约束）：只能限制质点或质点系单一方向运动的约束。如图5所示。其约束方程为222lyxoyx绳图5理论力学电子教程第十六章虚位移原理双侧约束（双面约束）：在两个相对的方向上同时对质点和质点系进行运动限制的约束。如图6所示，其约束方程为222lyxoyx刚杆图6理论力学电子教程第十六章虚位移原理（4）完整约束和非完整约束完整约束：这类约束的约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者方程中的微分项可以积分为有限形式。如图3中，运动约束方程虽是微分形式，但可以积分为有限形式，故为完整约束。00rx非完整约束：这类约束的约束方程中包含坐标对时间的导数（如运动约束），且方程不可积分为有限形式。本章只讨论定常的双面几何约束。理论力学电子教程第十六章虚位移原理三、自由度与广义坐标确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。一个自由质点在空间的位置：（x,y,z)3个一个自由质点系在空间的位置：(xi,yi,zi)(i=1,2……n)3n个对一个非自由质点系，受s个完整约束，则有（3n-s)个独立坐标。其自由度为k=3n-s。理论力学电子教程第十六章虚位移原理例如，前述曲柄连杆机构例子中，确定曲柄连杆机构位置的四个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程，Oyxba),(AAyxA),(BByxB图2因此有一个自由度。理论力学电子教程第十六章虚位移原理一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其自由度为snk3广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,z,s等）也可以取角位移（如,,,等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。通常，n与s很大而k很小。为了确定质点系的位置，用适当选择的k个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方程方便得多。用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。理论力学电子教程第十六章虚位移原理例如：曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：0,sincossin,cos222BBAAyabaxayax广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。Oyxba),(AAyxA),(BByxB图2理论力学电子教程第十六章虚位移原理双锤摆。设只在铅直平面内摆动。问有几个自由度？2212212221212211)()(),(,),(byyxxayxyxyx故有两个自由度，取广义坐标，。可写出coscos,sinsincos,sin2211baybaxayax【分析】讨论理论力学电子教程第十六章虚位移原理三、虚位移虚位移：在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位移。如图7所示，可设想质点在固定曲面上沿某个方向有一极小的位移。r虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号来表示。如图8中的、和。ArBrArBrABxzyrMr图7图8理论力学电子教程第十六章虚位移原理虚位移与实位移是不同的概念。（1）实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。（2）实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是假想的，微小的位移，视约束情况可能有几种不同的方向。（3）实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间、受力和运动情况无关。在定常约束下，实位移是虚位移之一。理论力学电子教程第十六章虚位移原理四、虚功力在虚位移中作的功。一般将力F在虚位移r上作的虚功表示为应注意：因虚位移只是假想的，不是真实发生的，故虚功也是假想的，是虚的。W=F·rW=Fxx+Fyy+Fzz其解析表达式为式中，Fx、Fy、Fz是力F在直角坐标轴上的投影，x、y、z是虚位移r在直角坐标轴上的投影。理论力学电子教程第十六章虚位移原理五、理想约束理想约束：这类约束的所有约束反力所做的虚功之和等于零。用数学公式可以表示为0iNiNiNrFWW式中表示某质点上的约束力，表示该质点的虚位移，表示约束反力在虚位移中所做的功。光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆、不可伸长的柔索、固定端等约束均为理想约束的典型例子。NiFiirNiW理论力学电子教程第十六章虚位移原理设有一质点系处于静止平衡状态，取质点系中任一质点，如图9所示。质点上作用有主动力合力、约束反力合力，则有imiFNiF0NiiFF若给质点系以某种虚位移，其中质点的虚位移为，则有imir0iNiiirFrF对于质点系则有0iNiirFrFimiFNiFir图9第二节虚位移原理及其应用理论力学电子教程第十六章虚位移原理因为理想约束，存在，故上式变为0iNirF0iirF0FiW或上述两式称为虚功方程，即对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所做虚功的和等于零。这个结论称为虚位移原理，又称为虚功原理。可以证明，不仅是质点系平衡的必要条件，也是充分条件。0iirF理论力学电子教程第十六章虚位移原理应用虚位移原理，通常可以求解以下几类问题：1．系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系；2．求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3．求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力；4．求平衡构架内二力杆的内力。理论力学电子教程第十六章虚位移原理例16-1图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，铰链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和Q之间的关系。【典型题精解】理论力学电子教程第十六章虚位移原理1、几何法：使A发生虚位移，B的虚位移，则由虚位移原理，得虚功方程：ArBr0)tgArQ(P由的任意性，得ArtgQP0BArQrPtgcossinABBArrrr而【解】研究整个机构。系统的所有约束都是完整、定常、理想的。理论力学电子教程第十六章虚位移原理2、用解析法求解。设为变量，则有sinlyAcoslyAcoslxBsinlxB又由虚位移方程0BAxQyPtanQP0)sincos(lQP代入和，则有AyBx因是任意的，得理论力学电子教程第十六章虚位移原理例16-2如图11所示，多跨静定梁，求B支座约束反力。【解】将支座B除去，代入相应的约束反力RB。mABCDEFG1P2P1rBrBRCrErmm4m4m3m6m3m6m4ABCDEFG1P2P图11理论力学电子教程第十六章虚位移原理0211mrPrRrPCBB211Brr811BCrr96118111211121614BCBEBGBrrrrrrrBBCBBrmrrPrrPR211mPPRB96118112121而mABCDEFG1P2P1rBrBRCrEr理论力学电子教程第十六章虚位移原理例16-3均质杆OA和AB长均为l，重均为G，它们在A端光滑铰接，O处为光滑固定铰之座。系统在图13所示铅直平面内平衡时，杆OA和AB与铅垂线的夹角分别为和。试求保持该系统平衡时作用在B点的水平力P和AB杆上力偶矩m的大小。【解】可用解析法求解，如图所示建立坐标系，由虚位移原理列方程，有oxy0mxPyGyGWBDC（1）cos2lyCcos2cosllyDsinsinllxB由于oxyACDmPGGB图13理论力学电子教程第十六章虚位移原理求变分得：sin2lyCsin2sinllyDcoscosllxB将这些结果代入（1）式，整理可得：0)sin21cos()sin23cos(mGlPllGP由于，且是彼此独立的，故系统是两个自由度系统，由上式可得两个独立方程：00，、0sin23cosGP0sin21cosmGlPl理论力学电子教程第十六章虚位移原理联立上两式，可解得：GtgP23)sincos3(21tgGlm理论力学电子教程第十六章虚位移原理1．是非题（1）虚位移原理只适用于具有理想约束的系统。（）（2）虚位移可以有多种不同的方向，而实位移只能有唯一确定的方向。（）（3）虚位移是假想的、极微小的位移，它与时间、主动力以及运动的初始条件无关。（）【思考与讨论题】对错错理论力学电子教程第十六章虚位移原理2．选择题CArr23CArr3CArr23CArr21A．B．C．D．C如图14所示平面机构，连线铅垂，杆，在图示瞬时，角，杆水平，则该瞬时点和点的虚位移大小关系为（）。CDBDCB30ABACCAODB图14理论力学电子教程第十六章虚位移原理3．图15所示机构重P，且AC＝BC＝DC＝DF＝EF＝EC＝L，弹簧原长为L，弹簧系数为k。试用虚位移原理求机构平衡时，力P与角的关系。)1sin2(32kLP答案：xyPADCBEF图15理论力学电子教程第十六章虚位移原理4．在图16所示水压机中，已知两活塞面积分别为和，并在两活塞上各作用力和，试用虚位移原理求水压机平衡时之间的关系。1A2APQQP、21AAQP答案：PQ1A2A图16理论力学电子教程第十六章虚位移原理5．试用虚位移原理求图17所示桁架中杆1、2的内力。22212bhPbSbPhS，答案：图17bP12hhh