第1插值法

第1章插值法1.1引言xx0x1……xnf(x)f(x0)f(x1)……f(xn)求y=f(x)在[a,b]上任一点处函数值的近似值？解决思路：根据f(x)在已知点的值，求一个足够光滑又比较简数学问题：例：已知函数y=f(x)在[a,b]上n+1个互异点处的函数值f(xi)(i=0,1,2,…,n)，如表。单的函数p(x)作为f(x)的近似表达式，然后计算p(x)在[a,b]上点x处的函数值作为f(x)在此点函数值的近似值。代数多项式、三角多项式、有理函数或样条函数代数多项式1设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数，xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1个互异实数，已知y=f(x)在xi的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n)，求次数不超过n的多项式Pn(x)使其满足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)这就是插值问题。一、插值问题定义第1章插值法1.1引言xx0x1……xnf(x)f(x0)f(x1)……f(xn)2•Pn(x)——f(x)的插值多项式；•f(x)——被插函数；•xi(i=0,1,...,n)——插值节点；•(xi,yi)(i=0,1,…,n)——插值点；•[a,b]——插值区间；•式(1-1)——插值条件。Pn(xi)=yi=f(xi)(i=0,1,...,n)(1-1)一、插值问题定义第1章插值法1.1引言3第1章插值法1.1引言二、插值问题的几何意义从几何意义来看，上述问题就是求一条多项式曲线y=Pn(x),使它通过已知的n+1个点(xi,yi)(i=0,1,…,n)，并用Pn(x)近似表示f(x)。4三、插值问题的近似关系式考虑：f(x)的插值多项式P(x)是所有已知值f(xi)的线性组合，即令：yf(x)，可得近似关系式第1章插值法1.1引言012niiiyfxfx0nniiiPxfx问题：如何确定系数0,1,…,n，以保证“尽可能高”的插值精度？5四、代数精度的概念根据微积分中的Taylor分析：一般函数都可用代数多项式来近似刻画，为保证函数关系式具有“尽可能高”的精度，就要令它对“尽可能多”的代数多项式均能准确成立。第1章插值法1.1引言定义：式(1-2)有m阶精度，如果它对于次数m的多项式均能准确成立，或者说，它对于幂函数y=1,x,x2,……,xm，均能准确成立，而对于y=xm+1不准确。0012nniiiiiiyfxfxy6四、代数精度的概念第1章插值法1.1引言设式(1-2)有m阶精度，则有：0012nniiiiiiyfxfxy00011222200110011113niinnnnmmmmnnxxxxxxxxxxxx7五、插值多项式的存在性和唯一性第1章插值法1.1引言见教材87页，6.18从几何图形上看，最简单的方法就是，令y=L1(x)表示过两点(x0,y0)、(x1,y1)的直线。100111,LxyLxy问题：作一次式L1(x)使满足条件第1章插值法1.2Lagrange插值一、两点插值（线性插值）见教材P88x0yy=f(x)00,xy11,xy0x1x9根据式(1-3)，有：01010110,xxxxxxxx0110011010110xxxxLxyyyyyxxxx因此，第1章插值法1.2Lagrange插值一、两点插值（线性插值）见教材P880100111xxx克莱姆法则根据式(1-2)，10011Lxyy100110011010110xxxxLxyyyyyxxxx教材89页，例6-1第1章插值法1.2Lagrange插值一、两点插值（线性插值）11几何解释是用通过三个点(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)的抛物线y=L2(x)来近似考察曲线，故也称为拋物插值。200211222,,LxyLxyLxy问题：作二次式L2(x)使满足条件第1章插值法1.2Lagrange插值二、三点插值（二次插值）见教材P89xfyyx01x2yLx0x2x00,xy11,xy22,xy12根据式(1-3)，有：012021210222012111Dxxxxxxxxxxxx第1章插值法1.2Lagrange插值01200112222220011221xxxxxxxxCramer法则根据式(1-2)，2001122Lxyyy二、三点插值（二次插值）13021210Dxxxxxx第1章插值法1.2Lagrange插值二、三点插值（二次插值）ijijnnnnnnxxxxxxxxxxx)(111212110200范德蒙行列式02121Dxxxxxx10220Dxxxxxx211Dxxxxxx14020112012101220210102()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxyyyyxxxxxxxxxxxx第1章插值法1.2Lagrange插值二、三点插值（二次插值）212100021210210201xxxxxxDDxxxxxxxxxxxxxx15教材91页，例6-20110110()()()()()()()()()()(0,1,,)()iiniiiiiiinnjjijjixxxxxxxxlxxxxxxxxxxxinxx0()()nniiiLxylx引入拉格朗日基函数式li(x),构造多项式设xi(i=0,1,…,n)互异,插值条件Ln(xi)=yi第1章插值法1.2Lagrange插值三、多点插值（n次插值，Lagrange插值公式一般式）见教材P9116推导过程见参考书5，P23n=1时的一次基函数为:01010110(),().xxxxlxlxxxxx0x1xy1Ox)(0xl0x1x)(1xlyOx第1章插值法1.2Lagrange插值三、多点插值（n次插值，Lagrange插值公式一般式）17021201010210120122021()()()()(),(),()()()()()()().()()xxxxxxxxlxlxxxxxxxxxxxxxlxxxxxn=2时的二次基函数为:18基函数的性质：1.基函数的个数等于结点的个数。2.n+1个结点的基函数是n次代数多项式。3.基函数和每一个结点都有关。如果结点确定了，那么基函数就唯一确定了。4.基函数和被插函数无关。5.基函数之和为1。第1章插值法1.2Lagrange插值三、多点插值（n次插值，Lagrange插值公式一般式）19第1章插值法1.2Lagrange插值三、多点插值（n次插值，Lagrange插值公式一般式）20教材93页，例6-3优点:结构紧凑,编程、理论分析方便缺点:改变一个节点则全部的插值基函数都改变,即节点增加,基函数失效000nnnjniiiiijijjixxLxylxyxx第1章插值法1.2Lagrange插值三、多点插值（n次插值，Lagrange插值公式一般式）21第1章插值法1.3埃特金(Aitken)插值埃特金(Aitken)插值公式(以下统称为Aitken插值公式)的构造是基于这样的直观想象：平面上的两个点可以连成一条直线，对应一个线性函数；把线性函数看作形式点，经线性组合，可构成二次函数；把二次函数再看作形式点,经线性组合，可构成三次函数。例：将三点插值化为两点插值。220110011001()()()()()xxpxxxpxpxxxxx1022010122112()()()()()xxpxxxpxpxxxxx其中的第一列指定值if，后面的每一个元素是从同一行中的前一个元素和前一列中顶上的元素来导出的。例已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的Aitken插值多项式。解：设x0=-1,x1=1,x2=2xf(x)-121121Aitken插值表一、差商及其基本性质定义1称101010)()(],[xxxfxfxxf为f(x)在x0、x1点的一阶差商.一阶差商的差商202110210],[],[],,[xxxxfxxfxxxf称为函数f(x)在x0、x1、x2点的二阶差商.第1章插值法1.4牛顿差商插值一般地，n-1阶差商的差商nnnnnnxxxxxfxxxfxxxf01112010],,,[],,,[],,,[称为f(x)在x0,x1,…,xn点的n阶差商。差商的计算步骤与结果可列成差商表，如下第1章插值法1.4牛顿差商插值xk函数值一阶差商二阶差商三阶差商...x0x1x2x3...f(x0)f(x1)f(x2)f(x3)...f[x0,x1]f[x1,x2]f[x2,x3]...f[x0,x1,x2]f[x1,x2,x3]...f[x0,x1,x2,x3]......第1章插值法1.4牛顿差商插值这一性质可以用数学归纳法证明，它表明差商与节点的排列次序无关，即f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,x0]nknkkkkkkknxxxxxxxxxfxxxf011010)())(()()(],,,[性质1差商可以表示为函数值的线性组合，即称之为差商的对称性。第1章插值法1.4牛顿差商插值性质2若f(x)在[a,b]上存在n阶导数,且节点x0,x1,…,xn[a,b],则至少存在一点[a,b]满足下式!)(],,,[)(10nfxxxfnn例1f(x)=-6x8+7x5-10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].解f(8)(x)=-6·8!,f[1,2,…,9]=-6,f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.第1章插值法1.4牛顿差商插值例已知1215207431ix)(ixf计算三阶差商.]7,4,3,1[f第1章插值法1.4牛顿差商插值解做差商表7三阶差商二阶差商01425.1ix)(ixf所以25.1]7,4,3,1[f134721512131414第1章插值法1.4牛顿差商插值二、牛顿插值多项式如此继续下去，可得一系列等式设x是[a，b]上一点，由一阶差商定义得000)()(],[xxxfxfxxf同理，由二阶差商定义110010],[],[],,[xxxxfxxfxxxf)](,,[],[],[110100xxxxxfxxfxxf得)](,[)()(000xxxxfxfxf得01010[,,,][,,,][,,,]()nnnnfxxxfxxxfxxxxx)](,[)()(000xxxxfxfxf)](,,[],[],[110100xxxxxfxxfxxf)](,,,[],,[],,[221021010xxxxxxfxxxfxxxf依次把后式代入前式，最后得00000100101001001201012012()()[,]()()[,]()[,,]()()()[,]()[,,]()()[,,,]()()()fxfxfxxxxfxfxxxxfxxxxxxxfxfxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxxxx一、插值逼近的概念二、Tay