第1章作业答案

第1章微积分研究的对象----函数习题1－12.(5))1lg(x-5yx9．证明函数12xxy在),(上是有界的．证明因为,0)1(2x所以,212xx故21122|1|)(22xxxxxf，对一切),(x都成立．所以函数在),(上是有界函数．10．证明函数21xy在)1,0(上是无界的．证明对于无论怎样大的,0M总可在(0,1)内找到相应的.x例如取01(0,1)1xM使得MMMxxf1)11(11)(2200，所以21)(xxf在)1,0(上是无界函数．13．求下列函数的反函数：（1）11xyx；解（1）由11xyx，解得11yxy，故反函数为11xyx．习题1-21．下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的?(1)arcsin3xya；（2）3sinlnyx；（3）tan2xy=a；（4）23ln[ln(ln)]yx解(1)令arcsinxua,则3yu,再令xva,则arcsinuv,因此3arcsinxya是由基本初等函数3,arcsin,xyuuvva复合而成的．(2)令sinlnux,则3yu,再令lnvx,则sinuv．因此3sinlnyx是由基本初等函数3,sin,lnyuuvvx复合而成．(3)令2tanux,则uya,再令2vx,则tanuv,因此2tanxya是由基本初等函数2,tan,uyauvvx复合而成．(4)令23ln(ln)ux,则lnyu,再令3ln(ln)vx则2uv,再令3lnwx,则lnvw,再令lntx,则3wt,因此23ln[ln(ln)]yx是由基本初等函数2ln,,ln,yuuvvw3,lnwttx复合而成．习题1－42．是非题，若非，请举例说明．（1）设在常数a的无论怎样小的邻域内存在着}{nx的无穷多点，则nx的极限为a．（）（2）若axaxnnnn122lim,lim，则axnnlim．（）（3）设111.0nx（n个），则91limnnx．（）（4）若nnxlim存在，而nnylim不存在．则)(limnnnyx不存在．（）（5）若nnxlim存在，而nnylim不存在．则)(limnnnyx不存在．（）（6）若nnnnvulim,lim都存在，且满足),,2,1(nvunn则nnnnvulimlim．（）解（1）（错）例如(1)31,212nnnxan．（2）（对）．（3）（对）．（4）（对）．（5）（错）例如11,sin,lim0,limsinnnnnxynnnn不存在，但1limsin0nnn存在（6）（错）例如211,,(1,2,),1nnnnuvuvnnn但211limlim01nnnn4．如果axnnlim，证明axnnlim．举例说明反之未必成立．证明因为lim,nnxa所以任给0,存在0,N当nN时，有nxa，又axn()nxanN时，所以lim.nnxa例如，数列1,1,1,1，1lim(1)1nn，但1)1(limnn不存在．8．证明数列nx1211211212n有极限．证明数列{}nx显然单调增加，且nxnn2121211211211212211[1()]221112n．所以{}nx单调增加有上界，故有极限．9．设112,2(1,2,)nnxxxn，证明数列nx有极限，并求出该极限．证明以下证明①nx有上界；②nx单增①（用归纳法证）当1n时，221x，假定kn时，2kx，则当1kn时，221nkxx，所以2nx(,2,1n)②nx单调增加事实上nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx21222221由于2nx，所以01nnxx，由①②，据极限存在准则Ⅱ知nnxlim存在．设极限为a，则2,aa解得122,1aa（舍去）所以lim2nnx．习题1－52．用极限定义证明：（1）;21121limxxx（2）1lim(21)1xx；证明（1）对任意0要使113222122212121xxxxx，取12(1),2M只要xM时，就有112,21221xxx所以11lim212xxx．（2）对任意0要使(21)121xx取2，只要当-1x时，就有(21)121xx，所以1lim(21)1xx．3．设12xy，问等于多少时，有：当4x时，107.y?解欲使107.y，即7(21)728240.1yxxx从而0502104..x,即当050.时，有：当4x时，107.y（如下图）．5．验证xxx0lim不存在．证明xxx0lim)1(limlim00xxxx;1xxx0lim1limlim00xxxx.1左右极限存在但不相等．所以)(lim0xfx不存在．习题1-6１．选择题（1）xxxxxxsin2sin2lim22（）（Ａ）不存在（Ｂ）0（Ｃ）2（Ｄ）21（2）设121)(11xxeexf，则)(lim0xfx（）（Ａ）（Ｂ）不存在（Ｃ）0（Ｄ）21（3）设;1,3,1,)(xxxxxf.1,12,1,)(3xxxxxg则)(lim1xgfx（）（A）1(B)1(C)4(D)不存在（4）4332(1)2lim21xaxbxxx,则,ab的值分别为（）（A）3,0ab(B)0,2ab(C)1,0ab(D)1,2ab（5）设0,ab则limnnnnab（）（A）1（B）0（C）a（D）b解（１）D；（２）B；（3）D；（4）D；（5）D．2．求下列各式的极限：（1）1003070)25()18()13(limxxxx；（2）322lim()2121xxxxx；（3）xxxxxlim；（4）220()limhxhxh；（5）)1(lim2xxxx；（6）112lim21xxxx；（7）)1211(lim21ttt；(8)111lim(1)242nn；（9）11lim1xxx；（11）321lim221xxxx；解（1）.583)25()18()13(lim)25()18()13(lim100307010030701003070xxxxxxxx（2）32222(1)1lim()lim.2121421(21)xxxxxxxxxx（3）1limlim1.111xxxxxxxxx（4）xhxhxhxhh2)2(lim)(lim0220．（5）.211lim)1(lim22xxxxxxxx（6）.31)12)(1(lim112lim121xxxxxxxx（7）.2111lim)1211(lim2121tttttt（8）2211211lim)2141211(lim1nnnn．(9)2111lim)1)(1()1)(1(lim11lim111xxxxxxxxxx．（11）1x时，分子和分母的极限都是零).00(型先约去不为零的无穷小因子1x后再求极限．321lim221xxxx)1)(3()1)(1(lim1xxxxx31lim1xxx.21（消去零因子法）3．设3214lim1xxaxxmx，试求a及m的值．解因为1lim10xx，所以321lim41140,4xxaxxaa2321115444limlim10,1011xxxxxxxxmxx．5．已知3,3(),3xxfxxax，且3lim()xfx存在，求a．解33lim()lim()3xxfxxaa，03lim)(lim33xxfxx，因为)(lim3xfx存在，所以30a，从而3a．习题1－7１．计算下列极限：（2）0tan3limtan5xxx；（3）0limcotxxx；（5）sinsinlimxaxaxa；（8）20coscos3limxxxx．解（2）535355tan33tanlim5tan3tanlim00xxxxxxxx．（3）1tanlimcotlim00xxxxxx．（5）aaxaxaxaxaxaxaxcos2sin2cos2limsinsinlim．（8）203coscoslimxxxx20sin2sin2limxxxxxxxxxsin22sin4lim0.42．计算下列极限：（1）10limln(12)xxx；（2）21lim(1)xxx；（4）123lim()21xxxx；解（1）11122000limln(12)lnlim(12)ln[lim(12)]2xxxxxxxxx．（2）1122211lim(1)lim(1)xxxxeexx．（4）231332211121223(1)232lim()lim211(1)2xxxxxxexexex．4．求下列极限：（1）xxx1sinlim；（5）xxxx)1(lim22；解（1）.111sinlim1sinlimxxxxxx（5）.1111lim111lim)1()1(lim)1(lim22xxxxxxxxxxxxxxxxx习题1－82．判断下列命题是否正确：(1)无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；(2)有界函数与无穷小量之积为无穷小量；(3)有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(4)有限个无穷小量之和为无穷小量；(5)有限个无穷大量之和为无穷大量；(6)sinyxx在(,)内无界，但limsinxxx；(7)无穷大量的倒数都是无穷小量；(8)无穷小量的倒数都是无穷大量．解（1）错误，例如，第1题例1；（2）正确．（3）错误，例如，当0x时，cotx为无穷大量，sinx是有界函数，cotsincosxxx不是无穷大量；（4）正确．（5）错误，例如，当0x时，1x与1x都是无穷大量，但它们之和11()0xx不是无穷大量；（6）正确，因为0M，正整数k，使π2π+2kM，从而π(2π+)2fkπππ(2π+)sin(2π+)2π+222kkkM，即sinyxx在(,)内无界，又0M，无论X多么大，总存在正整数k，使πkX，使(2π)πsin(π)0fkkkM，即x时，sinxx不无限增大，即limsinxxx；（7）正确．（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量．零是无穷小量，但其倒数无意义．4．根据定义证明：当0x时，xxy1sin2为无穷小．证明,0要使,1sin||01sin222xxxxx只